คำถามเกี่ยวกับลิมิตขอรับ ช่วยชี้แนะด้วย

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

1. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(y)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(y)}= \frac{L}{M}$ เมื่อ $M\not= 0$ คือ สงสัยว่า ถ้า $M = 0$ แล้วจะเกิดอะไรขึ้นน่ะค่ะ มันจะคำนวณยังไง

2. $\lim_{x \to a}x^n = a^n$ เมื่อ $n\in I^+$ กับ $\lim_{x \to a}[f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n = L^n$ เมื่อ $n\in I^+$ คือสงสัยว่า ถ้า $n\not\in I^+$ จะเป็นยังไงน่ะค่ะ

3. $\lim_{x \to a}\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{L} $ แล้วเขาบอกว่า เมื่อ $n$ เป็นบวกยกเว้นหนึ่ง สงสัยว่าจะยกเว้นหนึ่งทำไม แล้ว $\sqrt[-1]{x}$ เป็นยังไงน่ะค่ะ

4. $\lim_{x \to 0^-}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\left|x\right| } = $

ช่วยหน่อยนะขอรับ

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

ขอบคุณคุณ nooonuii ที่ช่วยแก้ไขให้ ช่วยตอบหน่อยนะคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดแก้โจทย์

1. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(y)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(y)}= \frac{L}{M}$ เมื่อ $M\not= 0$ คือ สงสัยว่า ถ้า $M = 0$ แล้วจะเกิดอะไรขึ้นน่ะค่ะ มันจะคำนวณยังไง

2. $\lim_{x \to a}x^n = a^n$ เมื่อ $n\in I^+$ กับ $\lim_{x \to a}[f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n = L^n$ เมื่อ $n\in I^+$ คือสงสัยว่า ถ้า $n\not\in I^+$ จะเป็นยังไงน่ะค่ะ

3. $\lim_{x \to a}\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{L} $ แล้วเขาบอกว่า เมื่อ $n$ เป็นบวกยกเว้นหนึ่ง สงสัยว่าจะยกเว้นหนึ่งทำไม แล้ว $\sqrt[-1]{x}$ เป็นยังไงน่ะค่ะ

4. $\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}-\frac{1}{\left|x\right| } = $

ช่วยหน่อยนะขอรับ

1. ถ้า $M=0$ จะเกิดปัญหาสองประการตามมาคือ ถ้า $L=0$ ด้วยจะทำให้เกิดรูปแบบยังไม่กำหนดซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าลิมิตเป็นเท่าใดกันแน่ กรณีนี้ต้องการเครื่องมือเพิ่มครับ อีกกรณีหนึ่งคือ $L\neq 0$ อันนี้สรุปได้ว่าไม่มีลิมิตครับ

2. ถ้า $n\not\in\mathbb{N}$ จะทำให้เกิดปัญหาตอนที่ฟังก์ชันมีค่าติดลบครับ เพราะการเอาจำนวนที่มีค่าเป็นลบมายกกำลังอาจไม่นิยามเช่น $(-1)^{1/2}$ อันนี้เกินขอบเขตของจำนวนจริงไปแล้ว จึงต้องตีกรอบไว้่ว่า $n\in\mathbb{N}$ ซึ่งกรณีนี้เรานิยามให้จำนวนที่ติดลบยกกำลังจำนวนเต็มบวกได้

3. $n=1$ ก็ยังได้นะครับ (ความเห็นส่วนตัว) มันก็ทำให้รากหลุดไปแค่นั้นเอง ส่วน $\sqrt[-1]{x}$ ผมยังไม่เคยเห็นมีใครใช้นะครับ แต่ถ้าจะให้ตีความตามความเคยชินมันก็คือ $x^{-1/1}=\dfrac{1}{x}$ ผมยังให้ความเห็นมากกว่านี้ไม่ได้ครับ

4. ลองแตกค่าสัมบูรณ์ออกมาก่อนครับ ก็ลิมิตหาจากทางซ้ายนี่นา ค่า $x$ ต้องเป็นยังไงล่ะครับ

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

ข้อ 4 พอแตกแล้วมันไม่ติดค่า x เหรอคะ ลองคิดดูได้ 2/x ???

[nooonuii]

ได้เท่านี้แหละครับ แต่ควรจะตอบว่า........

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

$\infty$ เหรอคะ ว้าว ขอบคุณมากค่ะ><

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดแก้โจทย์

$\infty$ เหรอคะ ว้าว ขอบคุณมากค่ะ><

แน่ใจหรือยัง ลองดูดีๆ

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แน่ใจหรือยัง ลองดูดีๆ

เอ...
$-\infty$ เหรอคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดแก้โจทย์

เอ...
$-\infty$ เหรอคะ

ทำไมถึงเป็น $-\infty$ ล่ะครับ

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำไมถึงเป็น $-\infty$ ล่ะครับ

x เข้าใกล้ 0 ทางลบ เลยลองแทน x = -a ก็จะได้ $-\frac{1}{a} - \frac{1}{a} = -\frac{2}{a}$
แล้ว a ก็เข้าใกล้ศูนย์ แล้วมันไม่ใกล้เคียง $-\infty$ เหรอคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดแก้โจทย์

x เข้าใกล้ 0 ทางลบ เลยลองแทน x = -a ก็จะได้ $-\frac{1}{a} - \frac{1}{a} = -\frac{2}{a}$
แล้ว a ก็เข้าใกล้ศูนย์ แล้วมันไม่ใกล้เคียง $-\infty$ เหรอคะ

ถูกแล้วล่ะครับ ผมแค่อยากเช็คความมั่นใจครับ

[มือใหม่หัดแก้โจทย์]

อ๋อ ขอบคุณมากค่ะ เขวไปเหมือนกัน แหะๆ