Subgroup of A4

[konkoonJAi]

Show that $A_4$ has no subgroup of order 6.

[nooonuii]

สมมติว่า มี subgroup ดังกล่าว เรียกว่า $H$

group ที่มีขนาด $6$ มีเพียงสองแบบเท่านั้นคือ group ที่ isomorphic กับ $\mathbb{Z}_6$ หรือ $S_3$
แต่เนื่องจาก $S_4$ ไม่มีสมาชิกที่มีขนาดเท่ากับ $6$ จึงเป็นไปได้อย่างเดียวว่า $H$ จะต้อง isomorphic กับ $S_3$
ซึ่งจะทำให้เราได้ว่า $H$ จะต้องมีสมาชิกที่มีขนาด $2$ ทั้งหมด $3$ ตัว(ตามคุณสมบัติของ $S_3$)
เราทราบว่าสมาชิกที่มีขนาด $2$ ทั้งหมดใน $A_4$ คือ $(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)$
ดังนั้นสมาชิกทั้งสามตัวนี้เป็นสมาชิกใน $H$
นอกจากนี้ $H$ ยังมีสมาชิกที่มีขนาด $3$ อีกสองตัวซึ่งอยู่ในรูป $(a\,b\,c), (a\,c\,b)$ เพราะสองตัวนี้จะเป็นตัวผกผันของกันและกัน
แต่เราทราบว่า $(c\,d)(a\, b)(a\,b\,c)=(b\,c\,d)$
ซึ่งเป็นสมาชิกอีกตัวที่แตกต่างจากสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ใน $H$
ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ $H$ จะเป็น group ที่มีขนาด $6$