เตรียมสอบเข้า ม.๑ พิเศษ (เพิ่มเติม)

view1472 · #1 17 กุมภาพันธ์ 2011, 10:40

๓. กำหนดให้;
$2! = 2 x 1$
$3! = 3 x 2 x 1$
$4! = 4 x 3 x 2 x 1$

จงหาว่าผลลัพธ์ของ $100!$ มีเลขศูนย์อยู่ในหลักหน่วยจนถึงหลักที่มีเลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์กี่ตัว

หมายเหตุ $100! = 9.3326215444×10^{157}$

ผมเข้าใจว่า คำตอบคือ 157 แต่ไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง ไม่ทราบผมเข้าใจโจทย์ผิด หรือ มีวิธีการอื่นๆอีกหรือเปล่าในการหาคำตอบ กรุณาเฉลยใ้ห้หน่อยครับ

๔. ให้ $ก$ เป็นจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 63, 78, 123 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
ให้ $ข$ เป็นจำนวนที่หารด้วย 18, 24, 54 แล้วเหลือเศษ 9 เท่ากันทุกจำนวน
จงหาว่า $ก + ข$

JSompis · #2 17 กุมภาพันธ์ 2011, 13:41

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

๓. กำหนดให้;
$2! = 2 x 1$
$3! = 3 x 2 x 1$
$4! = 4 x 3 x 2 x 1$

จงหาว่าผลลัพธ์ของ $100!$ มีเลขศูนย์อยู่ในหลักหน่วยจนถึงหลักที่มีเลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์กี่ตัว

หมายเหตุ $100! = 9.3326215444×10^{157}$

ผมเข้าใจว่า คำตอบคือ 157 แต่ไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง ไม่ทราบผมเข้าใจโจทย์ผิด หรือ มีวิธีการอื่นๆอีกหรือเปล่าในการหาคำตอบ กรุณาเฉลยใ้ห้หน่อยครับ

ข้อนี้การหาว่ามี 0 ลงท้ายกี่ตัวก็คือการหาว่ามี 5 เป็นตัวประกอบกี่ตัว หาโดยใช้วิธี

จำนวนศูนย์ลงท้าย = $\frac{100}{5} + \frac{100}{5^2} = 24$ ตัว

JSompis · #3 17 กุมภาพันธ์ 2011, 13:54

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

๔. ให้ $ก$ เป็นจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 63, 78, 123 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
ให้ $ข$ เป็นจำนวนที่หารด้วย 18, 24, 54 แล้วเหลือเศษ 9 เท่ากันทุกจำนวน
จงหาว่า $ก + ข$

ก. หาได้โดยการหา ห.ร.ม. ผลต่างของเลขสามตัวที่กำหนด ผมลืมวิธีพิสูจน์ไปแล้ว

ผลต่างของเลขทั้งสามตัวคือ $(78-63),(123-78),(123-63)$

$\therefore$ ก. = $15$

$ข$ เป็นจำนวนที่หารด้วย 18, 24, 54 แล้วเหลือเศษ 9

ก็แสดงว่าหากเราเอา ค.ร.น. ของเลขทั้ง 3 จำนวนนั้นมาบวกด้วย 9 ก็จะได้เลขดังกล่าว

$\therefore$ ข. จึงเท่ากับ ค.ร.น. ของ $18, 24, 54 = 216+9 = 225$

yellow · #4 17 กุมภาพันธ์ 2011, 14:48

ข เป็น ครน+9 ครับ

view1472 · #5 17 กุมภาพันธ์ 2011, 14:57

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ข้อนี้การหาว่ามี 0 ลงท้ายกี่ตัวก็คือการหาว่ามี 5 เป็นตัวประกอบกี่ตัว หาโดยใช้วิธี

จำนวนศูนย์ลงท้าย = $\frac{100}{5} + \frac{100}{5^2} = 24$ ตัว

น่าสนใจครับ คำตอบที่ได้นั้นมีอยู่ใน ตัวเลือกคำตอบ คือ ก.21 ตัว ข.22 ตัว ค.23 ตัว ง.24 ตัว

แต่ก็ยังงงๆ อยู่ว่า
- ทำไมถึงต้องใช้ตัวประกอบ 5, มาได้อย่างไร
- ทำไมถึงใช้แค่สองเทอม คือ $\frac{100}{5} + \frac{100}{5^2}$
- และช่วยกรุณาอธิบายเพิ่มเติมอีกหน่อยได้ไหมครับ

yellow · #6 17 กุมภาพันธ์ 2011, 14:59

สูตรของเลอจองดร์

จำนวนลงท้ายด้วย 0 ของ n! = $[\frac{n}{5}] + [\frac{n}{5^2}] + [\frac{n}{5^3}] + .... + [\frac{n}{5^k}]$

เมื่อ [ ] หมายถึงการหารแล้วปัดเศษทิ้ง และ $[\frac{n}{5^k}]$ คือพจน์สุดท้ายที่ได้ผลหารไม่เป็น 0

view1472 · #7 17 กุมภาพันธ์ 2011, 15:11

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

ข เป็น ครน+9 ครับ

ครับ คิดว่าอย่างนั้นเหมือนกัน และผมคิดออกมาได้ = 216 + 9

แต่ไม่แน่ใจ ก. เพราะใช้วิธีการยูคลิดแล้ว ได้ หรม = 3

เมื่อไปดูตัวเลือกของคำตอบ ก.231 ข.233 ค.240 ง.243

ซึ่งเมื่อ $ก + ข$ แล้วไม่ตรงคำตอบ

แต่ถ้าใช้วิธีการของคุณ JSompis เมื่อ ก. = 15 ก็ต้องเลือกข้อ ค.เป็นคำตอบ

คำถาม: ถ้าหากว่าวิธีการหา ก. ของคุณ JSompis ถูกต้องทฤษฏีเกี่ยวกับวิธีนี้เรียกว่าอะไร ขอรายละเอียดอีกนิดหนึ่งครับ และทำไมถึงใช้ยูคลิดไม่ได้ หรือ วิธีการหาหรมปกติก็ใช้ไม่ได้

JSompis · #8 17 กุมภาพันธ์ 2011, 15:20

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

ครับ คิดว่าอย่างนั้นเหมือนกัน และผมคิดออกมาได้ = 216 + 9

แต่ไม่แน่ใจ ก. เพราะใช้วิธีการยูคลิดแล้ว ได้ หรม = 3

เมื่อไปดูตัวเลือกของคำตอบ ก.231 ข.233 ค.240 ง.243

ซึ่งเมื่อ $ก + ข$ แล้วไม่ตรงคำตอบ

แต่ถ้าใช้วิธีการของคุณ JSompis เมื่อ ก. = 15 ก็ต้องเลือกข้อ ค.เป็นคำตอบ

คำถาม: ถ้าหากว่าวิธีการหา ก. ของคุณ JSompis ถูกต้องทฤษฏีเกี่ยวกับวิธีนี้เรียกว่าอะไร ขอรายละเอียดอีกนิดหนึ่งครับ และทำไมถึงใช้ยูคลิดไม่ได้ หรือ วิธีการหาหรมปกติก็ใช้ไม่ได้

ยูคลิด มันเป็นการหา ห.ร.ม. ของเลขชุดนั้นครับ หากนำ ห.ร.ม มาหารมันลงตัวครับ คือเศษ 0 จริงๆ ก็ถือว่าเป็นตัวหนึ่งที่เป็นไปได้ครับ แต่มันไม่มากที่สุดตามที่โจทย์กำหนด

ส่วนทฤษฏีผมไม่มั่นใจครับ จำได้ว่ามันสามารถพิสูจน์ได้ แต่เนื่องจากแก่แล้วเลยหลงๆ ลืมๆ เดี๋ยวรอเด็กมาตอบครับ

เท่าที่จำได้ก็ประมาณว่าแตกจำนวนนั้นๆ ให้อยุ่ในรูปกระจายของ ตัวหาร ผลหาร และเศษครับ

เช่น จำนวน $n$ หารด้วย $a$ ได้ผลลัพธ์ $b$ เศษ $c$ ก็สามารถเขียนแบบกระจายได้เป็น $n = ab+c$

view1472 · #9 17 กุมภาพันธ์ 2011, 15:28

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

สูตรของเลอจองดร์

จำนวนลงท้ายด้วย 0 ของ n! = $[\frac{n}{5}] + [\frac{n}{5^2}] + [\frac{n}{5^3}] + .... + [\frac{n}{5^k}]$

เมื่อ [ ] หมายถึงการหารแล้วปัดเศษทิ้ง และ $[\frac{n}{5^k}]$ คือพจน์สุดท้ายที่ได้ผลหารไม่เป็น 0

โอ้โห นี่น่าจะเป็นความรู้ระดับมหาวิทยาลัย แล้วเด็กป.๖ ที่กำลังจะสอบเข้าจะรู้กันไหมนี่ แต่จริงๆแล้วผลการทดสอบออกมา ปรากฏว่าเด็กมากกว่า ยี่สิบเปอร์เซนต์ทำได้ ยอดเยี่ยมครับ สมแล้วที่เป็นข้อสอบสำหรับห้องเรียนพิเศษ

ขอบคุณครับสำหรับรายละเอียด

yellow · #10 17 กุมภาพันธ์ 2011, 15:28

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

ครับ คิดว่าอย่างนั้นเหมือนกัน และผมคิดออกมาได้ = 216 + 9

แต่ไม่แน่ใจ ก. เพราะใช้วิธีการยูคลิดแล้ว ได้ หรม = 3

เมื่อไปดูตัวเลือกของคำตอบ ก.231 ข.233 ค.240 ง.243

ซึ่งเมื่อ $ก + ข$ แล้วไม่ตรงคำตอบ

แต่ถ้าใช้วิธีการของคุณ JSompis เมื่อ ก. = 15 ก็ต้องเลือกข้อ ค.เป็นคำตอบ

คำถาม: ถ้าหากว่าวิธีการหา ก. ของคุณ JSompis ถูกต้องทฤษฏีเกี่ยวกับวิธีนี้เรียกว่าอะไร ขอรายละเอียดอีกนิดหนึ่งครับ และทำไมถึงใช้ยูคลิดไม่ได้ หรือ วิธีการหาหรมปกติก็ใช้ไม่ได้

ที่มันใช้ วิธียูคลิดไม่ได้ เพราะโจทย์มันไม่ได้บอกว่าหาร 3 ตัวนี้ลงตัวครับ แต่โจทย์บอกว่าหารเหลือเศษเท่ากัน

ถ้าคุณให้ x เป็นจำนวนนั้น a,b,c เป็นผลหาร (ซึ่งเป็นเลขจำนวนเต็ม โดย c>b>a ) และ q เป็นเศษ จะได้

63 = ax + q -------- (1)

78 = bx + q -------- (2)

123 = cx + q ------- (3)

(2)-(1) 15 = (b-a)x

(3)-(2) 45 = (c-b)x

(3)-(1) 60 = (c-a)x

เนื่องจาก a,b,c เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น x เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หาร 15, 45, 60 ลงตัว คือ 15

yellow · #11 17 กุมภาพันธ์ 2011, 15:39

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

โอ้โห นี่น่าจะเป็นความรู้ระดับมหาวิทยาลัย แล้วเด็กป.๖ ที่กำลังจะสอบเข้าจะรู้กันไหมนี่ แต่จริงๆแล้วผลการทดสอบออกมา ปรากฏว่าเด็กมากกว่า ยี่สิบเปอร์เซนต์ทำได้ ยอดเยี่ยมครับ สมแล้วที่เป็นข้อสอบสำหรับห้องเรียนพิเศษ

ขอบคุณครับสำหรับรายละเอียด

หนังสือพวก gifted ป.6 จะมีบอกไว้ครับ และข้าใจว่า รร.กวดวิชาก็มีสอนด้วย

ขนาดเรื่องอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ซึ่งอยู่ในหลักสูตร ม.6 พวกนี้ยังเอามาสอนและสอบแข่งขันเลย ที่เห็นๆ ก็ ประกายกุหลาบปีที่แล้ว

เด็กเดี๋ยวนี้บางคนเก่งสุดๆ จริงๆ แต่ส่วนใหญ่กว่า 80% กลับแย่ ขนาด ป.6 ยังบวกลบคูณหารไม่ถูกเลย พ่อแม่ส่วนใหญ่ก็เคี่ยวเข็ญให้ลูกเรียน gifted โรงเรียนก็มุ่งแต่พวก gifted จนลืมเด็กส่วนใหญ่ไว้

view1472 · #12 17 กุมภาพันธ์ 2011, 16:58

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

หนังสือพวก gifted ป.6 จะมีบอกไว้ครับ และข้าใจว่า รร.กวดวิชาก็มีสอนด้วย

ขนาดเรื่องอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ซึ่งอยู่ในหลักสูตร ม.6 พวกนี้ยังเอามาสอนและสอบแข่งขันเลย ที่เห็นๆ ก็ ประกายกุหลาบปีที่แล้ว

เด็กเดี๋ยวนี้บางคนเก่งสุดๆ จริงๆ แต่ส่วนใหญ่กว่า 80% กลับแย่ ขนาด ป.6 ยังบวกลบคูณหารไม่ถูกเลย พ่อแม่ส่วนใหญ่ก็เคี่ยวเข็ญให้ลูกเรียน gifted โรงเรียนก็มุ่งแต่พวก gifted จนลืมเด็กส่วนใหญ่ไว้

ขอบคุณมากครับได้ความรู้มากเลย

ออกจากการศึกษาในระบบมายี่สิบกว่าปี เห็นข้อสอบระดับประถมปลายในชั้นเรียนพิเศษแล้ว ทำให้ทึ่งมาก เอาตำราของน.ร.มาเพื่อดูเนื้อหาแต่ไม่ได้คำตอบ เพราะเป็นความรู้ระดับช่วงชั้นเท่านั้น ที่หลักสูตรกำหนด อย่างนี้นี่เองที่ร.ร.กวดวิชาถึงได้มีกันเต็มไปหมด

สงสัยว่าการศึกษาของเราเน้นทางด้านความจำเป็นเลิศ ไม่คิดว่าจะเน้นทางด้าน IQ/EQ

เห็นด้วยครับที่บอกว่าเด็กส่วนใหญ่ยังมีความสามารถต่ำกว่าเกณฑ์ น่าจะเป็นภาพสะท้อนจากฐานะทางเศษรฐกิจของคนไทยส่วนใหญ่ จึงทำให้ขาดโอกาส เป็นเรื่องที่น่าเศร้ามากครับ สำหรับประชาชนในประเทศนี้ โดยเฉพาะ...ในปัจจุบัน

theme2010 · #13 18 กุมภาพันธ์ 2011, 07:46

เด็กก็จะมี 2 กลุ่ม พวกที่เก่งมากๆ นี้เรียนคณิตศาสตร์เกินชั้นกันไปหมดแล้ว บางคนอยู่ ม.1 เอง แต่กวดวิชาไปถึง ม.ปลายแล้ว ส่วนพวกเด็กปกติดูจะน่าเป็นห่วงลูกผมอยู่ ป.3 จะสอบ NT อีกไม่กี่วันดูเขาจะกังวลเรื่องคณิตคิดเร็วเป็นพิเศษ เพราะยังติดนับนิ้วมือ ครูก็ขู่ไว้ว่าครู ร.ร.อื่นจะมาคุมสอบ ห้ามนับนิ้วเด็ดขาด...

DEK [T]oR J[O]r [W]aR · #14 18 กุมภาพันธ์ 2011, 14:57

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ view1472

๓. กำหนดให้;
$2! = 2 x 1$
$3! = 3 x 2 x 1$
$4! = 4 x 3 x 2 x 1$

จงหาว่าผลลัพธ์ของ $100!$ มีเลขศูนย์อยู่ในหลักหน่วยจนถึงหลักที่มีเลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์กี่ตัว

หมายเหตุ $100! = 9.3326215444×10^{157}$

ผมเข้าใจว่า คำตอบคือ 157 แต่ไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง ไม่ทราบผมเข้าใจโจทย์ผิด หรือ มีวิธีการอื่นๆอีกหรือเปล่าในการหาคำตอบ กรุณาเฉลยใ้ห้หน่อยครับ

คือ จากโจทย์น่าจะมีศูนย์ 147 นี่ครับถึงจะใช้เลอจองก็เเปลกๆอยู่ดี