เฉลยข้อสอบการแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์โอลิมปิกแห่งประเทศไทย2549

[เด็กอยากเทพ]

ตอนที่ 1
http://http://www.pratabong.com/P_we...1_Part1_01.htm
ตอนที่ 2
http://www.pratabong.com/P_web/math/...1_Part2_01.htm
ช่วยแก้โจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ 51 ข้อนี้หน่อยครับ
12.ให้ P(x) เป็นพหุนามตัวตั้ง x-2 หาร p(x) เหลือเศษ 3 x-3หาร p(x) เหลือเศษ 5 แล้ว
(X-2)(x-3) หาร p(x) เหลือเศษเท่าใด
11. กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งเส้นทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด M
ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม ∠ACD ตัดกับเส้นตรง AB ที่จุด K สมมุติว่า MA ⋅ MC + MA ⋅ CD = MB ⋅ MD
ถ้า ∠ABD = 31° และ ∠BKC = 17° แล้ว ∠BMC เท่ากับกี่องศา

[Dark Magister]

ข้อ12. ให้ผลหารเป็น Q(x) และเศษเป็น ax+b
แสดงความสัมพันธ์ระหว่างผลหารกับเศษ
P(x)= (x-2)(x-3)Q(x)+ax+b
P(2)= 2a+b = 3
P(3)= 3a+b = 5 (P(2)และP(3)ให้ไปศึกษาเรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือเพิ่มเติมเอานะครับ...)
แก้สมการแล้ว จะได้ a=2 , b=-1
แทนค่าa,b ใน ax+b
เศษเท่ากับ 2x-1

[เด็กอยากเทพ]

คือข้อนี้ผมคิดออกแล้วแต่ผมต้องการทฤษฏีบทอ้างอิงเพิ่มเติม

[เด็กอยากเทพ]

คือคุณต้องการสรุปว่า 2x-1 เป็นพหุนามที่หารด้วย(x-2)เหลือเศษ 3และหารด้วย(x-3)เหลือเศษ 5
ใช่ไหมครับแล้ว(x-2)(x-3)/ 2x-1เหลือเศษ2x-1
ครับแต่คุณแน่ใจได้ไงว่าจะไม่มีพหุนามที่มีค่ามากกว่า(x-2)(x-3)แล้วหารด้วย(x-2)(x-3)ไม่ได้เศษเป็น2x-1
ต้องการบทพิสูจน์หน่อยครับผมใช้หลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ไม่รู้ว่าถูกหรือ
(ลองกำหนดค่าอื่นดูสิครับในทฤษฏีเศษเหลือน่ะ)

[Julian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เด็กอยากเทพ

คือคุณต้องการสรุปว่า 2x-1 เป็นพหุนามที่หารด้วย(x-2)เหลือเศษ 3และหารด้วย(x-3)เหลือเศษ 5
ใช่ไหมครับแล้ว(x-2)(x-3)/ 2x-1เหลือเศษ2x-1
ครับแต่คุณแน่ใจได้ไงว่าจะไม่มีพหุนามที่มีค่ามากกว่า(x-2)(x-3)แล้วหารด้วย(x-2)(x-3)ไม่ได้เศษเป็น2x-1
ต้องการบทพิสูจน์หน่อยครับผมใช้หลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ไม่รู้ว่าถูกหรือ
(ลองกำหนดค่าอื่นดูสิครับในทฤษฏีเศษเหลือน่ะ)

ผมว่าคุณเริ่มงงแล้วล่ะครับ

ผมอ่านตรงที่อ้างอิงมาแล้วงงมาก ช่วยอธิบายให้ชัดเจนหน่อยนะครับ

ยิ่งตรงสีแดง มันมีพหุนามแบบนี้แน่นอนครับ

ผมไม่เข้าใจที่คุณพูดมาเลยครับ

[Dark Magister]

จากโจทย์ P(x)/x-2=ผลหาร+3
P(x)/x-3=ผลหาร+5
และP(x)/(x-2)(x-3)=Q(x)+ax+b
เนื่องจากตัวหารเป็นพหุนามกำลังสอง จึงเขียนเศษได้เป็น ax+b
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(x)/x-a เศษจะ=P(a)
P(2)= 2a+b = 3
P(3)= 3a+b = 5
แก้สมการ แล้วแทนค่าa,bลงใน ax+b
จะได้ 2x-1
และไม่ีมีP(x)ที่มากกว่านี้ที่หารด้วย(x-2)(x-3)แล้วเหลือเศษไม่เท่ากับ2x-1
ที่หาร (x-2)แล้วเหลือเศษ3 กับ (x-3)แล้วเหลือเศษ5 (เงื่อนไขของโจทย์) ครับ...