|
|
#2
11 กรกฎาคม 2009, 21:44
|
|||
|
|||
ผมขอใช้ group presentation แบบนี้ครับ
$D_4=<r,s|r^4=e,s^2=e,rs=sr^{-1}>$ เมื่อ $r=$ การหมุนรูปทวนเข็มนาฬิกา $90^{\circ}$ $s=$ การพลิกรูปตามแนวนอน ความสัมพันธ์ทั้งหมดที่ผมเขียนไว้เพียงพอที่จะสร้าง group นี้ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมด $8$ ตัว $D_4=\{e,r,r^2,r^3,s,sr,sr^2,sr^3\}$ แต่ละความสัมพันธ์มาจากคุณสมบัติทางเรขาคณิตของ rigid motion พวกนี้ครับ ถ้าเราหมุนรูปไป $4$ ครั้งเราจะกลับมาที่เดิมจึงได้ $r^4=e$ ถ้าเราพลิกรูปสองครั้งเราก็จะกลับมาที่เดิมจึงได้ $s^2=e$ ถ้าเราพลิกรูปไปก่อนแล้วค่อยหมุนทวนเข็ม จะเหมือนกับ เราหมุนรูปตามเข็มไปก่อนแล้วค่อยพลิก จึงได้ $rs=sr^{-1}$ จริงๆแล้วโจทย์ข้อนี้ถ้ารู้ว่า $Inn(G)$ คืออะไรก็น่าจะหาได้ไม่ยากครับเพราะ $D_4$ มีสมาชิกแค่ $8$ ตัว น่าจะทำแบบลูกทุ่งได้ไม่ยาก ถ้า $a\in G$ เรานิยาม $f_a:G\to G$ โดย $f_a(x)=axa^{-1}$ จะได้ว่า $Inn(G)=\{f_a:a\in G\}$ ดังนั้น $Inn(G)$ มีสมาชิกได้ไม่เกินขนาดของ $G$ แต่ที่เราต้องตรวจสอบก็คือมีฟังก์ชันที่ซ้ำกันหรือเปล่า ซึ่งก็ทำได้ไม่ยาก แต่อาจจะเหนื่อยหน่อย อีกวิธีหนึ่งซึ่งเป็นวิธีทั่วไปคือการพิสูจน์ว่า $Inn(G)\cong G/Z(G)$ เมื่อ $Z(G)=$ center of $G$ พิสูจน์ นิยาม $\phi: G\to Inn(G)$ โดย $\phi(a)=f_a$ คุณสมบัติต่อไปนี้ฝากให้ลองพิสูจน์ดูนะครับไม่ยาก 1. $\phi$ is a group homomorphism 2. $\phi$ is onto 3. $Ker(\phi)=Z(G)$ จากทั้งสามข้อข้างบน ผนวกกับ First Isomorphism Theorem จะได้ $G/ker(\phi)\cong \phi(G)$ $G/Z(G)\cong Inn(G)$ คราวนี้กลับมาที่ $D_4$ เราทราบว่า $Z(D_4)=\{e,r^2\}=<r^2>$ ดังนั้น $Inn(D_4)\cong D_4/<r^2>\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 11 กรกฎาคม 2009 21:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii 
|
|
#4
12 กรกฎาคม 2009, 11:15
|
|||
|
|||
|
ลองหาหนังสือ Abstract Algebra ของ Dummit and Foote มาอ่านดูครับ
เล่มนี้จะปูพื้นให้เราตั้งแต่ต้น แล้วก็เพิ่มความยากไปเรื่อยๆ อย่างเรื่อง Dihedral Group ก็จะเขียนแนะนำไว้ตอนแรกว่าที่มาของ group นี้เป็นยังไง แล้วก็มีคุณสมบัติอะไรที่น่าสนใจ ผมว่าต้องอ่านจากหลายๆเล่มแล้วเอามาประกอบกัน เพราะผู้เขียนคนหนึ่งก็จะมีความถนัดและมุมมองอย่างหนึ่ง แต่ผมมาจอดป้ายที่หนังสือเล่มนี้เพราะมีโจทย์ให้ฝึกทำเยอะดีครับ สอบผ่านมาได้ก็เล่มนี้แหละ 
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
  |
|
|
