โจทย์น่าสนใจ(รึเปล่า?)

[polsk133]

ที่บอกว่าน่าสนใจ เพราะผมคิดว่ามันอาจจะสวย แต่ที่บอกว่ารึเปล่า ก็เพราะผมยังไม่ได้คิด 555+

จงหาค่า x

$$25^x49^{\frac{1}{x}}+25^{\frac{1}{x}}49^x+35^{x+\frac{1}{x}}=3675$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

จงหาค่า $x$

$$25^x49^{\frac{1}{x}}+25^{\frac{1}{x}}49^x+35^{x+\frac{1}{x}}=3675$$

ถ้า $x<0$ ข้างซ้ายน้อยกว่า $3$

ดังนั้น $x>0$

ให้ $a=5^x,b=7^x,c=5^{1/x},d=7^{1/x}$

จะได้ว่า $(ad)^2+(bc)^2+abcd=3675$

โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า

$(ad)^2+(bc)^2+abcd\geq 3abcd$

ดังนั้น $abcd\leq 1225$

แต่ $abcd=35^{x+\frac{1}{x}}\geq 35^2=1225$

ดังนั้น $abcd=1225$ สมการเกิดเมื่อ $x=\dfrac{1}{x}$

ตอบ $x=1$