Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 15 พฤษภาคม 2013, 21:29
Poogunexe's Avatar
Poogunexe Poogunexe ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 36
Poogunexe is on a distinguished road
Default

วันสองครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
     
__________________
SKN #33
POSN 2012-2013 IPST 1/2014
TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 15 พฤษภาคม 2013, 23:12
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

ข้อ 8 ใช้ A.M.-H.M. ครับ

ข้อ 12 Hint : แสดงให้ได้ว่า $AP=RM$,$BQ=RN$ ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...

15 พฤษภาคม 2013 23:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 00:00
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Default

Rough solutions 7-10



__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 02:40
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Default

ข้อ 6 (Rough solution)

x=y=0 จะได้ f(0)= 0

กรณีที่ 1 :มี $ f(x_0) =0 \,\, ,\exists x_0 \neq 0 $ จะแทน $ x= x_0$ ดังนั้น $ (x_0^2+y^2)f(x_0 y) =0 $

ซึ่ง implies f is constant zero

กรณีที่ 2 : $ f(x) \neq 0 \,\, \forall x \neq 0 $

นิยาม f(x) = xg(x) ทุก $ x \neq 0$ แทนค่ากลับในโจทย์จะได้ $ g(xy) = g(x)g(y) g(x^2+y^2) $

สังเกตว่า $ g(-xy) = g(-x)g(y) g(x^2+y^2) = g(x)g(-y) g(x^2+y^2) $

และเพราะ g nonzero ทำให้ $ g(-x)g(y) = g(x)g(-y) \Rightarrow g(x) = cg(-x) \,\, ,\exists c \neq 0$

ขณะเดียวกัน $ g(xy) = g(x)g(y) g(x^2+y^2) =g(-x)g(-y) g(x^2+y^2) $

solve for c = -1,1

ดังนั้น (a) g(x) = g(-x) or (b) g(x) = -g(-x)

แทน y =1 , ดังนั้น $ g(x) = g(x)g(1)g(x^2+1)\Rightarrow g(t) = \frac{1}{g(1)} \,\, ,\forall t > 1 $

For 0<t< 1 ให้ $ x= t , y= \frac{1}{t} >1$ ดังนั้น $ g(1) = g(t) g(\frac{1}{t}) g(t^2+\frac{1}{t^2}) = g(t) \frac{1}{g(1)} \frac{1}{g(1)} \Rightarrow g(t) = g(1)^3 $

Take $ x= \sin \theta \,\, ,y =\cos \theta$ ( $\theta $ เป็นมุมแหลม) ดังนั้น $ g(1) = \frac{g(1)^3}{g(1)^3 \cdot g(1)^3} \rightarrow g(1) = 1,-1$

สรุปว่า For (a) , มี 2 คำตอบ คือ g(x) = 1 ทุก nonzero x และ g(x) = -1 ทุก nonzero x

นั่นคือ f(x) =x และ f(x) =-x

For (b) , มี 2 คำตอบเช่นกัน คือ g(x) = sgn(x) และ g(x) = -sgn(x)

(Note : sign function : sgn(x) =1 เมื่อ x> 0 , เป็น -1 เมื่อ x< 0 และเป็น 0 เมื่อ x=0 )

นั่นคือ f(x) = (x)(sgn(x)) และ f(x) = (-x)(sgn(x))

ท้ายที่สุดลองแทนค่า check f(x) ทั้ง 5 คำตอบในโจทย์เองนะครับ

----------------------------------------------------------------

เพิ่มเติม ข้อ 12 ต่อจากคุณ Art_ty

Hint ที่น้อง Art_ty ให้ไว้ เป็นส่วนหนึ่งของ USAMO 2001 และอ้าง B,Q,R,N collinear + A,P,M,R collinear ก็จะหาพื้นที่ได้ไม่ยากแล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว

16 พฤษภาคม 2013 11:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
เหตุผล: Add more comment
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 06:31
zzz123 zzz123 ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 ตุลาคม 2009
ข้อความ: 9
zzz123 is on a distinguished road
Default

11.อุปนัยบน $m$ ว่า ญาญ่าเลือกสับเซตให้ได้ทองมากกว่าได้

$P(1)$ ชัดเจน สมมติ $P(k)$ จริง พิจารณา $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ ที่ณเดชน์เลือกซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$

แยก $B_{i}$ เป็นพวก $C$ กับพวก $D$ โดย $C$ คือพวกที่ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก พวก $D$ คือพวกที่มี

สมมติพวก $C$ ประกอบไปด้วย $B_{1},B_{2},...,B_{t}$ และพวก $D$ คือ $B_{t+1},...,B_{n}$

ให้ $c=a_{1}+a_{2}+...+a_{t}$ และ $d=a_{t+1}+...+a_{n}$

ให้ $f(X,C)$ แทนทองที่ญาญ่าจะได้รับจากพวก $C$ เมื่อญาญ่าเลือกสับเซต $X$ นิยาม $f(X,D)$ ในทำนองเดียวกัน

ดังนั้น เราต้องแสดงว่ามี $X$ ซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$ ซึ่ง $f(X,C)+f(X,D)>\frac{c+d}{2}$

เนื่องจากทุกๆ $B_{i}$ ที่เป็นพวก $C$ จะเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k\}$ ดังนั้นโดยสมมติฐานการอุปนัยจะมี $S\subset\{1,2,...,k\} $ ซึ่ง

$f(S,C)>\frac{c}{2}$ หาก $f(S,D)>\frac{d}{2}$ ก็จะได้ $P(k+1)$ เป็นจริงทันที มิเช่นนั้นหาก

$f(S,D)\leqslant \frac{d}{2}$ พิจารณา $S'=S\cup \{k+1\}$ เราทราบว่า $f(S',C)=f(S,C)$ (เพราะพวก $C$ ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก) และ

$f(S',D)=d-f(S,D)$ (เพราะเมื่อเพิ่มสมาชิก $k+1$ เข้ามา ทำให้ความเป็นคู่คี่ของ $\left|\,\right. S\cap B_{i}\left.\,\right| $ ในพวก $D$ เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม)

จึงได้ว่า $f(S',C)+f(S',D)>\frac{c+d}{2}$ เช่นเดียวกัน ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 17:42
artty60 artty60 ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 1,036
artty60 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ View Post
ไม่ใช่ $2\sqrt{3}$ เหรอครับ??
ถ้า $BC=2\sqrt{3}$ แล้ว $\triangle ABC$ จะกลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ารึเปล่าครับ

ซึ่งผิดเงื่อนไขโจทย์ที่กำหนด $A\hat BC>A\hat CB$

แต่ผมก็ยังงงกับคำตอบของคุณฟินิกซ์ คุณฟินิกซ์ลองแทนค่ากลับไปแล้วได้ $PD=PE$ ตามเงื่อนไขโจทย์รึเปล่าครับ

ผมก็อยากรู้ว่ารูปตามเงื่อนไขโจทย์มันเป็นแบบไหนกัน

16 พฤษภาคม 2013 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 17:50
win1234 win1234 ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ธันวาคม 2010
ข้อความ: 87
win1234 is on a distinguished road
Default

คำตอบเป็น $3+sqrt(3)$ ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 16 พฤษภาคม 2013, 19:31
artty60 artty60 ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 1,036
artty60 is on a distinguished road
Default

คิดยังไงครับแล้วมุมACB เท่ากับกี่องศาครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 17 พฤษภาคม 2013, 15:53
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o's Avatar
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 782
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o is on a distinguished road
Default

ได้เหรียญอะไรกันบ้างครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 17 พฤษภาคม 2013, 20:13
coke's Avatar
coke coke ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 101
coke is on a distinguished road
Default

ข้อ4เหมือนมีคนบอกว่า $a=b$ได้นะครับ
__________________
~การรู้ว่าตนเองไม่รู้ เป็นการก้าวไกลไปสู่ความรู้ ~
คนฉลาดเรียนรู้ข้อผิดพลาดของคนอื่น แต่คนโง่เรียนรู้ข้อผิดพลาดของตนเอง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 18 พฤษภาคม 2013, 11:07
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

1. 48
2. $3+\sqrt{3}=1+cot15^\circ$ (ในห้องสอบผมตอบในรูปตรีโกณ)
3. อีกวิธี
4. ผมคิดว่า $a=b$ ได้(แต่ยังไม่ได้ถามกรรมการ) รากที่เป็นไปได้จึงมี $0,-1,-2$
ตอบ $P(x)=x,x+1,x(x+1),x(x+2),x(x+1)(x+2)$

5. $n=21301$
6. $f(x)=0,x,-x,|x|,-|x|$
7. พิสูจน์ว่าถ้ามี $n$ จุดจะมี $2n+4$ รูป แล้วก็ รังนกพิราบแบบ reverse
8. ตามพี่ Art_ty ครับ จัดรูปได้ $-(b_1^2+\cdots+b_{1006}^2) \cdot -b_1^2\cdots b_{1006}^2(\dfrac{1}{b_1^2}+\cdots+\dfrac{1}{b_{1006}^2})$ แล้ว A.M-H.M

9. ให้ AB ตัด CD ที่ E (อันนี้ต้องแยกเคสว่า AB ขนานกับ CD หรือไม่) จะได้ $\dfrac{MP}{NQ}=\dfrac{ME}{NE}$ ที่เหลือก็ไม่ยาก

10. แยกเคสไปเรื่อยๆ ได้ (2,14)
11. ผมทำคล้ายๆคุณ zzz123 แต่แยกเป็น พวกที่มีจำนวนสมาชิกเป็นคู่ กับคี่
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 18 พฤษภาคม 2013, 13:24
artty60 artty60 ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 1,036
artty60 is on a distinguished road
Default

ขอบคุณ#28#29มากครับ

$\triangle ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุมBเป็นมุมฉาก $BC=1+cot15^{\circ} =3+\sqrt{3} $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 26 พฤษภาคม 2013, 18:59
Pheng Pheng ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 เมษายน 2013
ข้อความ: 55
Pheng is on a distinguished road
Default

ผมคิดว่ายากมากครับ
__________________
ความพยายามอยู่ที่ไหน ความสำเร็จอยู่ที่นั่น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 14 เมษายน 2014, 15:52
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555
2. $3+\sqrt{3}=1+cot15^\circ$ (ในห้องสอบผมตอบในรูปตรีโกณ)
สะท้อน D ข้าม AP จะได้ $P\hat{D}A=P\hat{E}A$ or $P\hat{D}A+P\hat{E}A=180^\circ$ ไล่มุมก็จะได้ $A\hat{P}B=120^\circ$
นั่นคือถ้า $fix$ เส้น $AB$ เอาไว้ จุด $P$ จะเคลื่อนอยู่บนวงกลม
@คุณ Thgx0312555
ตอนสุดท้ายที่ จุด $P$จะเคลื่อนอยู่บนวงกลม
มันเอาไปใช้ทำอะไรหรอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 14 เมษายน 2014, 17:12
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ลองหา ค่าต่ำสุดของ $\dfrac{r}{BC}$ ดูครับ

เมื่อ $r$ เป็นรัศมีวงกลมแนบใน

[ดูว่า ถ้า fix $BC$ แล้ว $r$ จะมี min เป็นเท่าไร]
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:29


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha