Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 16 พฤษภาคม 2014, 23:33
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe View Post
ข้อสามใครมีไอเดียอะไรบ้างอะครับ ไอเดียผมคือ ขั้นแรกพิสูจน์ว่าเดินวนเป็นวงแล้วกลับมาที่เดิมผลรวมระยะทางได้ 0 ต่อไปพิสูจน์ว่าเดิน ขวาแล้วลงกับเดินลงแล้วขวาผลรวมระยะทางเท่ากัน จากนั้นก็ induction ไปเรื่อยๆว่าไม่ว่าจะเดินเละยังไงก็พับให้เป็นทางขวาและลงอย่างเดียวได้ แล้วจะเหลือแค่การเดินจาก (0,N) ไป (M,N) ไป (M,0) ซึ่งผลรวมระยะทางเป็น 0 แต่ผมว่ามันเขียนได้ยากมากเลย ยาวด้วย เห็นเฉลยทีขนลุกเลยครับ
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends

16 พฤษภาคม 2014 23:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 00:19
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

# 16 วิธี Best Solution (แปลกใหม่และได้คะแนนเต็ม) นะครับ

น่านับถือจริงๆ เพราะผมเห็นเฉลยออกมาตั้ง 7 วิธี
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 07:29
Poogunexe's Avatar
Poogunexe Poogunexe ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 36
Poogunexe is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
ข้อ 8 นี่ทำยังไงอ่ะครับ

ส่วนข้อ 6 มีวิธีที่ไม่ต้องพึ่งสมการ $x^2=y^3+17$ หรือเปล่าครับ
ข้อแปดผมแสดงก่อนว่ามีชุดบัตร $\frac{n(n-1)}{2} +1$ ใบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด
ประกอบด้วย $1!,2!,3!,...,(n-1)!$ อย่างละ $1,2,3,...,n-1$ ใบ และ $n!$ อีกใบ แล้วอุปนัยว่าการจัดแบบนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขทุกๆ n
จากนั้นก็แสดงว่าการสร้าง $n!-1$ ด้วยบัตร $\frac{n(n-1)}{2} $ใบ ทำได้แบบเดียว
__________________
SKN #33
POSN 2012-2013 IPST 1/2014
TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 09:13
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

ข้อ 8..... สอบเสร็จแล้วผมยังไม่คิดจะทำเลย -3-555
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 09:33
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania View Post
# 16 วิธี Best Solution (แปลกใหม่และได้คะแนนเต็ม) นะครับ

น่านับถือจริงๆ เพราะผมเห็นเฉลยออกมาตั้ง 7 วิธี
มันเป็นความฟลุคอะครับ คิดมาเปน ชม จู่ๆฟ้าก็ประทานข้อความนั้นมาให้ตอน20นาทีสุดท้าย ไม่แน่ถ้าTMO9 มีรางวัลนี้บางคนก็อาจจะได้นะคับ5555
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 11:26
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

วิธีของ #16 กรรมการเห็นว่า generalize โจทย์ขึ้นไปอีกครับ

จึงได้ best solution ยินดีด้วยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 12:55
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Default

ข้อ 7 เกือบตาย ทด อยู่เกือบ 2 ชั่วโมง (คาดว่าใครทดข้อนี้ได้ในห้องสอบ อาจไม่เหลือเวลาทดข้ออื่น)

คำตอบคือ E เป็นจุดที่ ทำให้ AD ขนานกับ ฺBE

สมมติ (APD) ตัด (BPE) ที่ Q (คนละจุดกับ P) (Easy to prove by contradiction ว่า 2 วงนี้ไม่สัมผัสกัน และยืนยันได้ว่า Q exists )

อันดับแรก จะ derive สูตร $ O_1O_2$ ให้ได้ก่อนครับ

รายละเอียด ขอไม่เขียนหมดเพราะมันจุกจิกเกิน เอาเป็นว่า วิธีทำ เริ่มจากลากเส้นจาก center ทั้ง 2 จุดมาตั้งฉากกับ DC แล้ว ใช้ Pythaogorus + อัตราส่วน sin ,cos derive ให้อยู่ใน form $ (O_1O_2)^2 = \underbrace{(r_xcos x - r_ycosy)^2+(r_xsin x + r_ysiny)^2}_{(**)} = (r_x)^2+(r_y)^2 - 2r_xr_y\cos D\hat{Q}E $

(จริงๆ ตรงที่ (**) ไว้มันขึ้นกับ ตำแหน่งของ P ด้วยครับว่าให้สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน แต่ ตอนจบก็เหมือนกัน โดย r ที่ผมเขียน ก็คือรัศมี ส่วนมุม x,y ก็มาจากมุม DAP , PBE)

จากนั้น ใช้ Law of sine เปลี่ยนค่า r ทั้งสองใน form DQ, QE แล้วมันจะเข้าสูตร law of cosine อย่าง งดงามเป็น $O_1O_2 = \frac{DE}{2\sin Q\hat{P}D}$

คราวนี้ ก็ต้องตามล่าหาจุด E ที่ทำให้ค่า sin ตัวนี้ อิสระจาก P

โดย ถ้า E ที่เป็นจุดที่ผมบอกไป มันจะพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า จุด Q, A, B อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ดังนั้น $\sin Q \hat{P}D = \sin D\hat{A} Q = \sin D\hat{A}B $ ซึ่งไม่ขึ้นกับ P

---------------------------------------------------------------------------------

และเพื่อระบายความอัดอัั้น ที่ทดเกือบ 2 ชั่วโมง ผมมีคำถามคู่ขนานกับข้อนี้ครับ (ใครสนใจก็ลองทดดูได้ครับ ไม่ต้องใช้ตรีโกณ ใช้ความรู้เรขาล้วนๆ)

กำหนดสี่เหลี่ยมนูน ABCD โดย มุม A เป็นมุมป้านและ D เป็นมุมแหลม พิสูจน์ว่ามี จุด E ( $\neq D$) บนเส้นตรง CD ที่สอดคล้องกับ

"ทุก P ($\neq C,D$) บนส่วนของเส้นตรง CD ที่ทำให้ circumcircle (APD) ,(BPE)ตัดกัน อีกจุดที่ Q ($\neq P$) แล้ว set of points Q อยู๋บน fixed circle ไม่ขึ้นกับ P "
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว

17 พฤษภาคม 2014 20:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
เหตุผล: Add more details
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 17 พฤษภาคม 2014, 22:12
Poogunexe's Avatar
Poogunexe Poogunexe ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 36
Poogunexe is on a distinguished road
Default

ข้อ 1 น้องเปรมที่ศูนย์ผมเขาทำแบบนี้ครับ
ขั้นแรก ไล่มุมเรื่อยๆจะได้ $\widehat{ACE}=60$
จากนั้นลาก AQ ตัด BE ที่ Q และตัด BC ที่ P ให้สามเหลี่ยม ACQ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
ไล่มุมต่อจะได้ $\Delta ABP\sim \Delta ABC$
จากนั้นไล่ด้านไปเรื่อยๆจะได้ $\frac{PQ}{AP} = \frac{BD}{DE} $
ที่นี้พิจารณา $\Delta AEQ$ กับส่วนของเส้นตรง BC โดยทฤษฎีบทเมเนลอส
จะได้ $1=\frac{AB}{BE} \frac{CE}{CQ} \frac{PQ}{AP}=\frac{AB}{BE}\frac{CE}{CQ}\frac{BD}{DE} $
แต่ $AB=CQ$ และ $BE=BC$ ดังนั้นจะได้ $BC\cdot DE=BD\cdot CE$ ตามต้องการ
__________________
SKN #33
POSN 2012-2013 IPST 1/2014
TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 10:50
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 View Post

5. จงหาจำนวนจริง k ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
โจทย์ที่แท้จริงที่กรรมการกลางเฉลยไว้คือแบบนี้ครับ

สำหรับ $k\geq 0$ จะได้ว่า
$$
9(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leq (k+1)^3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})
$$ ทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

ซึ่งจะได้โจทย์สวยๆอีกหลายข้อเลยเช่น

$$
(2+\frac{a}{b})(2+\frac{b}{c})(2+\frac{c}{a}) \leq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})
$$

$$
(5+\frac{a}{b})(5+\frac{b}{c})(5+\frac{c}{a}) \leq 24(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})
$$

ทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 11:11
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

เฉลยข้อที่5 ของสอวน.
ส่วนแรกนะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 

18 พฤษภาคม 2014 14:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 11:13
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

ส่วนที่สองนะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 14:25
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

ฉบับภาษาอังกฤษนะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 14:26
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

ข้อ 3-4 นะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 14:33
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

ข้อ 5-6 ของวันที่สอง นะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 18 พฤษภาคม 2014, 14:34
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

สุดท้ายครับ
ข้อ 7-8
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ใครทราบผล TMO11 ที่ขอนแก่นบ้างครับ geophysics ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 18 25 พฤษภาคม 2014 00:59

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:17


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha