ขอถามโจทย์อนุกรมหน่อย

[Nekomata]

$ \frac{2}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{4}{3^4} + .... $

$ 2 + 0.2 + 0.035 + 0.00035 + 0.0000035 + .... $

$ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{9}{32} + .... $

$ \frac{3}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{9}{5^3} + \frac{11}{5^4} + .... $

ช่วยสอนวิธีทำให้ด้วยเน้อ

[nongtum]

แนวคิด

ข้อ 1 สมมติผลรวมเป็น $S$ แล้วคูณสมการตลอดด้วย $3^2$ แล้วจึงใช้สมการทั้งสองแก้หา $S$
ข้อ 2 สมมติผลรวมของอนุกรมหลัง 2+0.2 เป็น $S$ แล้วคูณ $S$ ตลอดด้วย $100$ แล้วจึงใช้สมการทั้งสองแก้หา $S$ ก่อนบวกด้วย 2.2
ข้อ 3 หา $r$ แล้วใช้สูตรผลรวม

[Nekomata]

"สมมติผลรวมเป็น S แล้วคูณสมการตลอดด้วย $3^2$ แล้วจึงใช้สมการทั้งสองแก้หา S"

อันนั้นใช่อยู่ แต่ไม่เข้าใจตรงที่จะกำหนด ไอ้ตัวท้ายนี่แหละคะ ว่าใช้ $S^n$ อันไหนอะ

[[SIL]]

หมายถึงการแทนค่า $S_n$ ลงไปในอนุกรมดังกล่าวน่ะครับ
(ตรงที่ใส่เวงเล็บนั่นคือ $S_n$)
$\frac{2}{3}+\frac{4}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...=S_n$
$3 \bullet 2 + 4 +[\frac{2}{3} + \frac{4}{3^2}+ ... ]=3^2S_n$
$6+4+S_n=9S_n$
$S_n=\frac{5}{4}$

[Nekomata]

$ \frac{1}{3*7} + \frac{1}{7*11} + \frac{1}{11*15} + ... $ แล้วตัวที่เป็น $a_n$ คืออะไรคะ เพื่อที่จะหา $S_n$ ช่วยแสดงวิธีทำด้วย

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nekomata

$ \frac{1}{3*7} + \frac{1}{7*11} + \frac{1}{11*15} + ... $ แล้วตัวที่เป็น $a_n$ คืออะไรคะ เพื่อที่จะหา $S_n$ ช่วยแสดงวิธีทำด้วย

Hint: $(\frac{4}{3*7} )=\frac{1}{3} -\frac{1}{7} $

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nekomata

$ \frac{1}{3*7} + \frac{1}{7*11} + \frac{1}{11*15} + ... $ แล้วตัวที่เป็น $a_n$ คืออะไรคะ เพื่อที่จะหา $S_n$ ช่วยแสดงวิธีทำด้วย

โจทย์ $ \frac{1}{3*7} + \frac{1}{7*11} + \frac{1}{11*15} + ... $
$ [\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})]+[\frac{1}{4}(\frac{1}{7}-\frac{1}{11})]+[\frac{1}{4}(\frac{1}{11}-\frac{1}{15})]+...$
$\frac{1}{4}[\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+....]$มันจะตัดกันไปไม่รู้จักจบสิ้น
จนเหลือ $\frac{1}{4}[\frac{1}{3}]=\frac{1}{12}$
ถ้าไม่มีอะไรผิดพลาดก็คงตอบ $\frac{1}{12}$ แหละครับ

[Nekomata]

แต่โจทย์อันที่เขียนตะกี๊ เค้าขอ 10 พจน์แรกคะ

[[SIL]]

งั้นก็เป็น(หาพจน์สุดท้าย)
$a_10=a_1+(n-1)d$
$a_10=7+9\times4$
$a_10=43$
$\frac{1}{4}[\frac{1}{3}-\frac{1}{43}]$
ที่เหลือก็คิดเอาครับ