เอ่อ...ถามหน่อยครับ

[คนอยากเก่ง]

คืออย่างนี้หรอครับ
$(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=a^2+b^2+c^2+d^2$
มันน้อยๆไปยังไงครับชี้แนะด้วยครับ

[กิตติ]

ข้อ3...ถ้าไม่รู้เอกลักษณ์ ก็สามารถใช้การแก้สมการได้ แต่ยาวเอาเรื่อง ผมเคยแก้โดยใช้การแก้สมการ จดไว้ไหนไม่รู้แล้ว
เดี๋ยวค้นเจอจะเอามาลงให้ดูครับ

ตกลงโจทย์ระดับมัธยมต้นธรรมดา หรือโจทย์คัดตัว ถ้าเป็นโจทย์คัดตัว.....ต้องใช้ความรู้เกินขั้น ผมเห็นว่าสมการโคชีขนาดในมัธยมปลายยังไม่สอนเลย
อยากรู้ครับว่าโจทย์ของน้องคนอยากเก่งเอามาจากไหนครับ...เผื่อจะได้รู้ว่าระดับข้อสอบlevelไหน

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณครับ
คือที่ โรงเรียนมีติวอะครับ
เลยเอาโจทย์มาทำครับ

[กิตติ]

ข้อ3....ผมกลับไปดูที่ตัวเองทำ....เข้าข่ายการใช้เอกลักษณ์ที่ได้เขียนไว้
ไม่แน่ใจว่าข้อ4...ถ้าไม่เอาอสมการโคชีมาใช้ เราจะหาคำตอบได้หรืเปล่า.กำลังนั่งทำอยู่

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ3....ผมกลับไปดูที่ตัวเองทำ....เข้าข่ายการใช้เอกลักษณ์ที่ได้เขียนไว้
ไม่แน่ใจว่าข้อ4...ถ้าไม่เอาอสมการโคชีมาใช้ เราจะหาคำตอบได้หรืเปล่า.กำลังนั่งทำอยู่

ขอบคุณมากครับ
แล้วนำเอกลักษณ์มากจากสมการ อย่างไรครับ

[กิตติ]

เหมือนกับที่ทำจากเอกลักษณ์เลยคือ
ผมมองว่า$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=a^2b^2+a^2c^2+b^2d^2+c^2d^2=1$
แล้วเราหา$a^2c^2+b^2d^2$โดยโยงไปกับ$ac+bd$ โดยผมมองว่าให้ $ac+bd$ ยกกำลังสอง
$(ac+bd)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd$
$a^2c^2+b^2d^2=\frac{1}{9} -2abcd$.....นำกลับไปแทนค่า
$a^2b^2+a^2c^2+b^2d^2+c^2d^2=1$
$a^2b^2+c^2d^2+\frac{1}{9} -2abcd=1$
$a^2b^2-2abcd+c^2d^2 =\frac{8}{9}$
$(ab-cd)^2-\frac{8}{9}=0$
$(ab-cd+\frac{2\sqrt{2} }{3} )(ab-cd-\frac{2\sqrt{2} }{3})=0$
เนื่องจาก$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$ ดังนั้น $ab-cd \geqslant 0$
$ab-cd=\frac{2\sqrt{2} }{3}$

โจทย์ที่จดจากMCไปทำนั้น เขาให้หาค่าของ$3\sqrt{2}(ab-cd)$....โจทย์ของคนอื่นนะครับ ไม่ใช่ข้อนี้

ข้อ4.....ยังตัน หาทางไปไม่ได้ มึนดี
เดี๋ยวขอตัวไปรับลูกก่อน สามทุ่มค่อยแวะเข้ามาอีกทีครับ

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า2]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

1.กำหนดให้$a+b+c=2010$ และ $\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=\frac{2010}{2553} $จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $

2.กำหนดให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก มีคุณสมบัติดังนี้
i)ลงท้ายด้วย 28
ii)ผลบวกของเลขโดดในทุกหลักมีค่าเป็น 28
iii)mหาร 28 ลงตัว

3.กำหนดให้$ a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a\geqslant b\geqslant c\geqslant d,$ $a^2+d^2=1,b^2+c^2=1และ ac+bd=\frac{1}{3} จงหาค่าของ ab-cd$

4.กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a+b+c+d=8,ab+ac+ad+bc+cd=12$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของ d


รบกวนด้วยครับ

ข้อ 2 - ใช้ทฤษฎีขั้นเทพของผมครับ แก้ 2 วิ ออก
จะได้ m > 1000
m = ....28 โดยที่ m หาร 28 ลงตัว แสดงว่า หลักร้อย พัน หมื่น .. ต้องเป็นผลคูณของ 28
2+8=10 ดังนั้น หลักพัน หมื่น ... ต้อง + กันได้ = 18 และ เป็นผลคุณของ 28
ไปคิดต่อกันเอาเองนะครับ เสียเวลาอันมีค่าของป๋ม

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

คือข้อ 2 ไม่มีคำตอบครับ
เลขโดด 2 ตัวบวกกันได้ 18 มีเเต่ 9 เเละ9เท่านั้น

เเต่ลองเเทนเเล้วไม่ลงตัวครับ

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ถ้า ข้อ4ทำเเบบนี้ละครับ
จาก $a+b+c= 8-d$
และ $ab+ac+bc \leqslant a^2+b^2+c^2$ $\Rightarrow$ $ab+ac+bc \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{d^2-16d+64}{3}$
เเล้วเเทนใน $(ab+ac+bc)+(ad+bd+cd) =12 $
จะได้ $~~~~$ $\frac{d^2-16d+64}{3} + d^2-8d \leqslant 12$

เลยได้ $max(d)=5+2\sqrt3$ น่ะครับ
คือที่เอามาลงนี่ เพราะค่าที่ได้ไม่เท่ากันอะครับ
ของคุณ โคชี ตอบ $2+3\sqrt2$

เเก้ไข ฉบับเต็มเเล้วครับ
คือ ผมคิดของคุณ โคชี ผิดไปน่ะครับ

[คนอยากเก่ง]

ใช่ครับ ตอบ 5+2รูท3 ครับ
แต่ไม่เข้าใจวิธีครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DEK [T]oR J[O]r [W]aR

ถ้า ข้อ4ทำเเบบนี้ละครับ
จาก $a+b+c= 8-d$
$ab+ac+bc \leqslant a^2+b^2+c^2$ $\Rightarrow$ $ab+ac+bc \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{d^2-16d+64}{3}$
เเล้วเเทนใน $(ab+ac+bc)+(ad+bd+cd) =12 $
จะได้ $~~~~$ $\frac{d^2-16d+64}{3} + d^2-8d \leqslant 12$

เลยได้ $max(d)=5+2\sqrt3$ น่ะครับ
คือที่เอามาลงนี่ เพราะค่าที่ได้ไม่เท่ากันอะครับ
ของคุณ โคชี ตอบ $2+3\sqrt2$

ผมยังไม่ได้ตอบเลยนาคับ

[กิตติ]

ข้อ 4. ตกลงว่ามีห้าพจน์หรือหกพจน์ครับ
เดิม$ab+ac+ad+bc+cd=12$ ไม่มีพจน์ $bd$
หรือว่าเป็น $ab+ac+ad+bc+cd+bd=12 $
เพราะวิธีทำของแต่ละคนนั้นใช้แบบหกพจน์
ขอบคุณครับที่ช่วยเตือนว่านับพจน์ผิด....แก่แล้วก็ตาลายอย่างนี้แหละครับ

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 4. ตกลงว่ามีสี่พจน์หรือห้าพจน์ครับ
เดิม$ab+ac+ad+bc+cd=12$ ไม่มีพจน์ $bd$
หรือว่าเป็น $ab+ac+ad+bc+cd+bd=12 $
เพราะวิธีทำของแต่ละคนนั้นใช้แบบห้าพจน์

6 พจน์ครับ