ถามข้อสงสัยนิดนึงครับ

[ToT]

คือประมาณว่าวันนี้ เพื่อนมันเอากลอะไรไปทายก็ไม่ทราบ ประมาณว่า เป็นกลคณิตศาสตร์ คือ

1.เลือกเลข 1- 9
2.นำมาลบ 5
3.คูณ 3
4.ยกกำลังสอง
5.เอาเลขแต่ละหลักบวกกัน
......

ที่จริงยังมีต่ออีกนะครับ แต่เอาแค่นี้ละกัน .. ผมและเพื่อนๆก็เลยพยายามพิสูจน์ ( เหมือนกับที่เคยทำกับกลอื่นมาแล้ว ) โดยการแทน x ลงไปแทน 1 - 9 แต่ตอนมาถึงตอนเอาเลขแต่ละหลักบวกกันสิครับ จะทำยังไง ????

ผมเลยลองแทนเลข 1-9 ไปเลยทุกตัว แต่ก็เจอเรื่องพิลึก คือ เมื่อถึงฉากเอาเลขแต่ละหลัก + กัน มันได้ 9 เสมอ งงมากครับ ??

แล้วผมก็ลองเลขอื่น และพบว่า
จำนวนทุกจำนวนที่มี 9 เป็นตัวประกอบ เมื่อนำแต่ละหลักมาบวกกันเรื่อยๆ จนสุดท้าย จะได้ 9 เช่น
9*9 = 81 => 9
9*20 = 180 => 9
9*111 = 999 => 27 => 9
9*123456 = 1111104 => 9

งงมากครับใครพิสูจน์ได้ช่วยที ( คิดมาทั้งวันแล้วเนี่ย )

ถ้าถามยาว หรือนอกเรื่องมากไป โทษทีนะครับ - - "

[TOP]

เนื่องจาก 10 = 9 + 1
จาก (a_na_n-1...a₁a₀)_{base 10} = Sa_n10ⁿ
= Sa_n(9 + 1)ⁿ
= Sa_n(9ⁿ + c₁9^n-1 + c₂9^n-2 + ... + c_n-19 + 1 )
= S[a_n(9ⁿ + c₁9^n-1 + c₂9^n-2 + ... + c_n-19) + a_n]
= Sa_n(9ⁿ + c₁9^n-1 + c₂9^n-2 + ... + c_n-19) + Sa_n
เนื่องจาก 9 หาร Sa_n(9ⁿ + c₁9^n-1 + c₂9^n-2 + ... + c_n-19) ลงตัวเสมอ ดังนั้น 9 หาร Sa_n10ⁿ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 9 หาร Sa_n ลงตัว ซึ่ง Sa_n ก็คือ ผลรวมของเลขโดดทั้งหมดนั่นเอง นั่นคือ หาก 9 หารจำนวนใดลงตัว จะได้ว่า 9 หารผลรวมของเลขโดด ของจำนวนนั้นลงตัวเสมอ วิธีนี้จึงเป็นการตรวจสอบอย่างง่ายได้ว่า 9 หารจำนวนใดลงตัวหรือไม่ โดยการตรวจสอบจากผลรวมของเลขโดด

หากเราขยายแนวคิดนี้ออกไป จะสามารถสรุปได้ว่า
b-1 หาร (a_na_n-1...a₁a₀)_{base b} ลงตัว ก็ต่อเมื่อ b-1 หาร ผลรวมของเลขโดดทั้งหมดลงตัว

จากหลักการเดียวกัน ลองหาวิธีตรวจสอบการหารด้วย 11 ดูว่าจะง่ายเหมือนเลข 9 รึเปล่า

[ToT]

จาก (a_n)a_n-1...a₁)a₀))₁₀ = Sa_n10ⁿ

จะได้ว่า
Sa_n10ⁿ = Sa_n(11 - 1)ⁿ
= Sa_n( 11ⁿ + c1(11^n-1) - c2(11^n-2) + ...... ฑ 1)
= Sa_n( 11ⁿ + c1(11^n-1) - c2(11^n-2) + ...... ฑ 11) ฑ Sa_n

นั่นคือ 11 หาร Sa_n10ⁿ ลงตัวเมื่อ 11 หาร Sa_n ลงตัว แต่ทำไมพอลองเอาใช้ดูมันใช้ไม่ได้อ่าคับ ผิดตรงไหนครับ ท่านจอมยุทธช่วยชี้แนะด้วย

[TOP]

นั่นคือ 11 หาร Saⁿ10ⁿ ลงตัวเมื่อ 11 หาร Sa_n ลงตัว

ต้องเปลี่ยนเป็น 11 หาร Saⁿ10ⁿ ลงตัวเมื่อ11 หาร ฑSa_n ลงตัว โดยเราต้องพิจาณาค่า ฑSa_n ให้ถูกต้องด้วย โดยถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่าสำหรับเลขโดดหลักคู่จะมีเครื่องหมายตรงกัน และตรงข้ามกับเลขโดดหลักคี่ นั่นคือในการตรวจสอบหารด้วย 11 ให้แยกเลขโดดหลักคู่และหลักคี่ ออกจากกัน จากนั้นบวกเลขโดดของทั้งสองกลุ่มที่แยกไว้เข้าด้วยกัน นำผลที่ได้มาลบกัน หากผลลัพธ์ที่ได้หารด้วย 11 ลงตัว แสดงว่า 11 หารลงตัว ตัวอย่างเช่น

จะตรวจสอบว่า 11 หาร 15,461 ลงตัวหรือไม่ ก็แยกเลขโดดออกเป็นสองกลุ่ม
กลุ่มแรก เลขโดดหลักคี่คือ 1 , 4 , 1 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 6
กลุ่มสอง เลขโดดหลักคู่คือ 6 , 5 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 11
เนื่องจากผลต่างคือ 5 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว แสดงว่า 11 หาร 15,461 ไม่ลงตัว

จะตรวจสอบว่า 11 หาร 123,456,789 ลงตัวหรือไม่ ก็แยกเลขโดดออกเป็นสองกลุ่ม
กลุ่มแรก เลขโดดหลักคี่คือ 9 , 7 , 5 , 3 , 1 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 25
กลุ่มสอง เลขโดดหลักคู่คือ 8 , 6 , 4 , 2 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 20
เนื่องจากผลต่างเป็น 5 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว แสดงว่า 11 หาร 123,456,789 ไม่ลงตัว

จะตรวจสอบว่า 11 หาร 9,637,613,060,339 ลงตัวหรือไม่ ก็แยกเลขโดดออกเป็นสองกลุ่ม
กลุ่มแรก เลขโดดหลักคี่คือ 9 , 3 , 6 , 3 , 6 , 3 , 9 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 39
กลุ่มสอง เลขโดดหลักคู่คือ 3 , 0 , 0 , 1 , 7 , 6 ผลรวมของเลขโดดกลุ่มนี้คือ 17
เนื่องจากผลต่างเป็น 22 หารด้วย 11 ลงตัว แสดงว่า 11 หาร 9,637,613,060,339 ลงตัว