เล่นๆก่อนสอบมหิดลกัน

[tonklaZolo]

1.จงหาผลรวมของ $ \frac{1^2}{1\times3}+\frac{2^2}{3\times5}+\frac{3^2}{5\times7}+…+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}$
2.กำหนด $F(x)=(1-x+x^2-x^3+…x^{97}+x^{98}-x^{99}+x^{100})(1+x+x^2+x^3+…+x^{97}+x^{98}+x^{99}+x^{100})$ เท่ากับเท่าใด
ก.$\frac{x^{202}-1}{x+1}$ ข.$\frac{x^{202}-1}{x-1}$ ค.$\frac{{x^{202}}-1}{x^2-1}$
3.กำหนด $56^x=7$, $56^y=4$ จงหา $8^\frac{2x+y}{1-x}$
4.กำหนดรูปแปดเหลี่ยมแนบในวงกลมดังรูป จงหา $R^2=\frac{a+b\sqrt{2}}{2}$ จงหา $2(a+b)$

5.กำหนด AB คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใหญ่สุด $CP=PD=4$หน่วย จงหาพื้นที่แรเงา


-------------------------------------------------------------------------------------

ข้อ1

1.ตอบ $\frac{n^2+n}{2(2n+1)}$
$\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\frac{(2n-1)(2n+1)+1}{4}}{(2n-1)(2n+1)}$
$= \frac{1}{4}+\frac{1}{4(2n-1)(2n+1)}$
$= \frac{1}{4}(1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)})$
$= \frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}))$

$\sum_{n = 1}^{n=n}=\frac{1}{4}(n+\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1}))$ ก็จะตัดหายกันไปเหลือแค่ $1 -\frac{1}{2n+1}$
$= \frac{1}{4}(n+\frac{2n}{2(2n+1)})$
$= \frac{1}{4}(\frac{4n^2+4n}{2(2n+1)})$
$= \frac{n^2+n}{2(2n+1)}$

ข้อ2

2.ตอบ ค.
$F(x)(x+1)(x-1)=[(1-x+x^2-x^3+…x^{97}+x^{98}-x^{99}+x^{100})(x+1)][(1+x+x^2+x^3+…+x^{97}+x^{98}+x^{99}+x^{100})(x-1)]$
$F(x)(x^2-1)=(x^{101}+1)(x^{101}-1)$
$F(x)=\frac{x^{202}-1}{x^2-1}$

ข้อ3

3.ตอบ 196
$56^x\times8=7\times8$
$8=56^{1-x}$
$8^{1-x}=56$
$8^\frac{2x+y}{1-x}=[8^{\frac{1}{1-x}}]^{2x+y}$
=$56^{2x+y}$
=$7\times7\times4$
=$196$

ข้อ4

4.ตอบ 14
วิธี 1 (อยากเอาปี๊บคุมหัวตัวเอง)

ตามกฏของโคไซน์
$2^2=R^2+R^2-2(R)(R)(\cos x^\circ)$
$R^2=\frac{2}{1-(\cos x^\circ)}$

$1^2 = R^2+R^2-2(R)(R)[\cos (90-x)^\circ]$
$R^2 = \frac{1}{2[1-\cos (90-x)^\circ]} = \frac{1}{2[1-sin x^\circ]}$

$\frac{2}{1-(\cos x^\circ)}=\frac{1}{2[1-\sin x^\circ]}$
จะได้ $\cos x^\circ = 4\sin x^\circ -3$
จาก$\sin^2x^\circ+\cos^2x^\circ=1$
จะได้
$17\sin^2x^\circ-24\sin x^\circ+8=0$
จะได้ $\sin x = \frac{12\pm 2\sqrt{2}}{17}$
$x>90-x$ เพราะความยาวด้านที่รองรับด้าน x ยาวกว่า
$x>45$ ดังนั้น $\sin x>\sin 45^\circ\approx 0.7$
ดังนั้น $\sin x = \frac{12+ 2\sqrt{2}}{17}$
นำค่า $\sin x$ ที่ได้ไปแทนใน
$R^2 = \frac{1}{2[1-\sin x^\circ]}$
จะได้
$R^2=\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$
ดังนั้น 2(a+b) = 14

วิธี2 (ขอขอบคุณคุณ BLACK-dragon อย่างสู๊งง)

$\frac{180-x}{2}+\frac{180-(90-x)}{2} = 135$ จะได้เป็นรูปแปดเหลี่ยมมุมเท่า
จะได้ $(2R)^2=2^2+(2+\sqrt{2})^2$
ก็จะได้ $R^2=\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$ เหมือนกันง่ายกว่ากันเยอะเลย ขอขอบคุณ คุณBLACK-dragon อีกทีครับ

ข้อ5

5.ตอบ $8\pi$

ให้วงกลมเล็กรัศมียาว r
วงกลมกลางรัศมียาว R
จะได้วงกลมใหญ่รัศมียาว R+r
จากกฎคอร์ดตัดกันจะได้ $4\times4=2R\times2r$
$Rr=4$

พท แรเงา = $\pi[(R+r)^2-R^2-r^2]$
= $\pi(2Rr)$
= $8\pi$

[polsk133]

ข้อ 2 แนะนำเปลี่ยนช้อยนิดหน่อยครับ ไม่งั้นดูดีกรีแล้วดูช้อยตอบได้เลย - -*

[Goguma]

เยี่ยมจริงๆ - -b

[BLACK-Dragon]

มาเพิ่มให้ครับ

1. (สพฐ.) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมี B เป็นมุมฉากแล้วมี P และ Q บนด้าน AC ทีทำให้ $A\hat{B}P=P\hat{B}Q=Q\hat{B}C$ ถ้า $BP=x,BQ=y$ แล้ว

$x+13y=a\sqrt{b}$ โดย a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่ b ไม่มีตัวประกอบเป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะ แล้ว a+b เป็นเท่าใด

2. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $9^{9^{9}}$ ด้วย 1000

ต่อฟิสิกส์เล็กน้อย

1. ถ้าลูกกระสุนมวล m ยิ่งใส่เป้าที่แขวนอยู่มวล M ทำให้กระสุนฝันอยู่ในเป้าแล้วแกว่งลอยขึ้นสูง h เมตร ถามว่าลูกกระสุนเข้ากระทบเป้ามีความเร็วเท่าใด

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

มาเพิ่มให้ครับ

1. (สพฐ.) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมี B เป็นมุมฉากแล้วมี P และ Q บนด้าน AC ทีทำให้ $A\hat{B}P=P\hat{B}Q=Q\hat{B}C$ ถ้า $BP=x,BQ=y$ แล้ว

$x+13y=a\sqrt{b}$ โดย a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่ b ไม่มีตัวประกอบเป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะ แล้ว a+b เป็นเท่าใด

2. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $9^{9^{9}}$ ด้วย 1000

ต่อฟิสิกส์เล็กน้อย

1. ถ้าลูกกระสุนมวล m ยิ่งใส่เป้าที่แขวนอยู่มวล M ทำให้กระสุนฝันอยู่ในเป้าแล้วแกว่งลอยขึ้นสูง h เมตร ถามว่าลูกกระสุนเข้ากระทบเป้ามีความเร็วเท่าใด

2.$9^400\equiv 1 mod1000 , 9^9\equiv 89 mod400 พิจารณา 9^89 (mod 1000)$
$9=10-1 ; (10-1)^89\equiv 10^3-10^2+10-1 \equiv 909 หรือเปล่าครับ$

[HL~arc-en-ciel]

ทำไมข้อ 2 ผมได้ 809 หว่า...

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HL~arc-en-ciel

ทำไมข้อ 2 ผมได้ 809 หว่า...

แสดงให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

มาเพิ่มให้ครับ

1. (สพฐ.) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมี B เป็นมุมฉากแล้วมี P และ Q บนด้าน AC ทีทำให้ $A\hat{B}P=P\hat{B}Q=Q\hat{B}C$ ถ้า $BP=x,BQ=y$ แล้ว

$x+13y=a\sqrt{b}$ โดย a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่ b ไม่มีตัวประกอบเป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะ แล้ว a+b เป็นเท่าใด

2. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $9^{9^{9}}$ ด้วย 1000

ต่อฟิสิกส์เล็กน้อย

1. ถ้าลูกกระสุนมวล m ยิ่งใส่เป้าที่แขวนอยู่มวล M ทำให้กระสุนฝันอยู่ในเป้าแล้วแกว่งลอยขึ้นสูง h เมตร ถามว่าลูกกระสุนเข้ากระทบเป้ามีความเร็วเท่าใด

ข้อ 2 ตอบ 89 หรือเปล่าครับ?

[หยินหยาง]

เสนอข้อ 4 ให้อีกวิธี

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ulqiorra Sillfer

ข้อ 2 ตอบ 89 หรือเปล่าครับ?

ผมลองcheck wolfram ดูแล้วตอบ 289 ครับ ช่วยแสดงวิธีให้ดูหน่อยได้หรือเปล่าครับ

[HL~arc-en-ciel]

ผมใช้วิธีดู3ตัวสุดท้ายอะครับ 55 แล้วไล่ไปเรื่อยๆ กรรมเวรเพราะสะเพร่าจึงคูณผิด... ขอโทษครับ

[Thgx0312555]

Physic 1. $v =\dfrac{(M+m)\sqrt{2gh}}{m}$

Maths 2:: Sol$^n$

พิจารณา $9^{9^9}=(10-1)^{9^9}$

กระจายทวินาม จะได้

$(10-1)^{9^9}=\binom{9^9}{9^9}10^{9^9}(-1)^0+\binom{9^9}{9^9-1}10^{9^9-1}(-1)^1+...+\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}$

ซึ่งพจน์แรกจนถึงพจน์ที่สี่จากท้าย หารด้วย 1000 ลงตัว จึงพิจารณาเพียงสามพจน์หลัง
$\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}=-9^9(9^9-1)\times50+9^9\times10-1$

$9^2 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^8 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^9 \equiv 9 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1) \equiv 72 \equiv 12 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1)\times50 \equiv 600 \pmod{1000}$

$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
$9^9 \times 10 \equiv 890 \pmod{1000}$

จึงได้ว่าเหลือเศษ $-600+890-1 = 289$
ได้ตรงกับ wolfram

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Physic 1. $v =\dfrac{(M+m)\sqrt{2gh}}{m}$

Maths 2:: Sol$^n$

พิจารณา $9^{9^9}=(10-1)^{9^9}$

กระจายทวินาม จะได้

$(10-1)^{9^9}=\binom{9^9}{9^9}10^{9^9}(-1)^0+\binom{9^9}{9^9-1}10^{9^9-1}(-1)^1+...+\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}$

ซึ่งพจน์แรกจนถึงพจน์ที่สี่จากท้าย หารด้วย 1000 ลงตัว จึงพิจารณาเพียงสามพจน์หลัง
$\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}=-9^9(9^9-1)\times50+9^9\times10-1$

$9^2 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^8 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^9 \equiv 9 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1) \equiv 72 \equiv 12 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1)\times50 \equiv 600 \pmod{1000}$

$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
$9^9 \times 10 \equiv 890 \pmod{1000}$

จึงได้ว่าเหลือเศษ $-600+890-1 = 289$
ได้ตรงกับ wolfram

ข้าน้อยขอคารวะ ขอบคุณครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Physic 1. $v =\dfrac{(M+m)\sqrt{2gh}}{m}$

Maths 2:: Sol$^n$

พิจารณา $9^{9^9}=(10-1)^{9^9}$

กระจายทวินาม จะได้

$(10-1)^{9^9}=\binom{9^9}{9^9}10^{9^9}(-1)^0+\binom{9^9}{9^9-1}10^{9^9-1}(-1)^1+...+\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}$

ซึ่งพจน์แรกจนถึงพจน์ที่สี่จากท้าย หารด้วย 1000 ลงตัว จึงพิจารณาเพียงสามพจน์หลัง
$\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}=-9^9(9^9-1)\times50+9^9\times10-1$

$9^2 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^8 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^9 \equiv 9 \pmod{20} $[/color]
$9^9(9^9-1) \equiv 72 \equiv 12 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1)\times50 \equiv 600 \pmod{1000}$

$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
$9^9 \times 10 \equiv 890 \pmod{1000}$

จึงได้ว่าเหลือเศษ $-600+890-1 = 289$
ได้ตรงกับ wolfram

ยอดเยี่ยมครับ
ขอถามหน่อยครับว่าตัวแดงข้างบนมายังไงครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Physic 1. $v =\dfrac{(M+m)\sqrt{2gh}}{m}$

Maths 2:: Sol$^n$

พิจารณา $9^{9^9}=(10-1)^{9^9}$

กระจายทวินาม จะได้

$(10-1)^{9^9}=\binom{9^9}{9^9}10^{9^9}(-1)^0+\binom{9^9}{9^9-1}10^{9^9-1}(-1)^1+...+\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}$

ซึ่งพจน์แรกจนถึงพจน์ที่สี่จากท้าย หารด้วย 1000 ลงตัว จึงพิจารณาเพียงสามพจน์หลัง
$\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}=-9^9(9^9-1)\times50+9^9\times10-1$

$9^2 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^8 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^9 \equiv 9 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1) \equiv 72 \equiv 12 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1)\times50 \equiv 600 \pmod{1000}$

$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
$9^9 \times 10 \equiv 890 \pmod{1000}$

จึงได้ว่าเหลือเศษ $-600+890-1 = 289$
ได้ตรงกับ wolfram

ยอดเยี่ยมครับ
ขอถามหน่อยครับว่าตัวแดงข้างบนมายังไงครับ