พิสูจน์ยังไงครับช่วยผมหน่อย

[BacKStar]

\sum_{n = 1}^{0} 3^k(L_(k)+F_(k+1))=(3^(n+1))(F_(n+1))

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BacKStar

$$\sum_{n = 1}^{0} 3^k(L_k+F_{k+1})=3^{n+1}F_{n+1}$$

แบบนี้เหรอ ผมงง

[BacKStar]

$\sum_{k = 0}^{n} 3^k(L_{k}+F_{k+1})=3^{n+1}F_{n+1}$

[nooonuii]

ดูๆแล้วไม่น่าจะพ้นอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ไปได้

$L_k$ นี่เป็น Lucas number ใช่หรือไม่

[BacKStar]

เป็น Lucas number ครับ

[nooonuii]

ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ลองพิสูจน์ก่อนว่า

$L_{n+1}+F_{n+1}=2F_{n+2}$ ครับ

โดยใช้ความสัมพันธ์ $L_{n+1}=F_n+F_{n+2}$

ข้อมูลส่วนนี้จะนำไปใช้ในการพิสูจน์ขั้นอุปนัยครับ

ลองดูครับว่าทำได้มั้ย

[ohmohm]

ถ้า $\sum_{k = 0}^{m} 3^k(F_{k-1}+2F_{k+1})=3^{m+1}F_{m+1}$
แล้ว $\sum_{k = 0}^{m+1} 3^k(F_{k-1}+2F_{k+1})$
$= 3^{m+1}(F_{m}+2F_{m+2}) + \sum_{k = 0}^{m} 3^k(F_{k-1}+2F_{k+1})$
$= 3^{m+1}(F_{m}+2F_{m+2}) + 3^{m+1}F_{m+1}$
$= 3^{m+1}(F_{m}+2F_{m+2} + F_{m+1})$
$= 3^{m+1}(F_{m}+F_{m+1} + 2F_{m+2})$
$= 3^{m+1}(F_{m+2} + 2F_{m+2})$
$= 3^{m+1}(3)(F_{m+2})$
$= 3^{m+2}(F_{m+2})$