ปัญหาเกี่ยวกับวิธีจัดหมู่ (Combination) การเลือกสิ่งของ การหยิบสิ่งของ

[lek2554]

ผมตั้งกระทู้นี้ทิ้งไว้ เพื่อรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับวิธีจัดหมู่โดยเฉพาะครับ (ขอระดับ ม.ปลาย เท่านั้น)

เนื่องจากเห็นว่ามักจะมีการถามปัญหาลักษณะซ้ำ ๆ เดิมบ่อย จะได้ค้นดูได้ง่าย

ใครอยากจะหยิบอะไร ก็จะได้มาหยิบที่นี่ (ยกเว้น ปอบหยิบ อย่ามานะ....บรื่อ ๆๆๆๆๆ)
................................................................................................................................ .......

1. มีรองเท้า6 คู่ แต่ละคู่สีต่างกัน สุ่มหยิบขึ้นมา 4 ข้าง ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้รองเท้าสีต่างกันทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

Answer

$\dfrac{16}{33} $

แนวคิด

การทดลองสุ่ม คือ การสุ่มหยิบรองเท้าขึ้นมา 4 ข้าง จากที่มีอยู่ทั้งหมด 12 ข้าง สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{12}{4} $ วิธี

$\therefore n(S)= \binom{12}{4} $

เหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ รองเท้าที่สุ่มหยิบขึ้นมาทั้ง 4 ข้างนั้น มีสีต่างกันทั้งหมด

ซึ่งต้องหยิบมาจากรองเท้า 4 สี ๆ ละ 1 ข้าง

วิธีหยิบ แบ่งงานเป็น 2 ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 เลือกสีที่จะหยิบ 4 สี จากที่มีอยู่ 6 สี สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{6}{4}=15 $ วิธี

งานในขั้นตอนนี้เป็นการเล็งว่าจะหยิบรองเท้า 4 ข้าง จากสีไหน (ยังไม่ได้หยิบรองเ้ท้าขึ้นมา นะครับ) ซึ่งสามารถเลือกทำได้ 15 วิธี เช่น

วิธีที่ 1 หยิบจาก สีแดง , สีดำ , สีขาว , สีน้ำเงิน

วิธีที่ 2 หยิบจาก สีแดง , สีดำ , สีเหลือง , สีม่วง

ฯลฯ

ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธีของงานในขั้นตอนที่ 1 เราก็ไปหยิบรองเท้าขึ้นมา 1 ข้าง จากรองเท้าที่มีอยู่ 2 ข้างในแต่ละสี สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} $ วิธี

$\therefore n(E)=\binom{6}{4}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} $

$\therefore P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)} =\dfrac{\binom{6}{4}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} }{ \binom{12}{4}} =\dfrac{16}{33} $

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จากกระทู้ โจทย์บางข้อของโควตา ม.ช.๒๕๕๔ /post 24 มิถุนายน 2011, 22:09

2. ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทั้งหมด $7$ ลูก โดยมีลูกบอลสีขาว $3$ ลูกและสีดำ $4$ ลูก ในการสุ่มหยิบลูกบอลขึ้นมาครั้งละ $3$ ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สีเหมือนกัน $2$ ลูก

Answer

$\dfrac{6}{7} $

แนวคิด

การทดลองสุ่ม คือ การหยิบลูกบอลขึ้นมา 3 ลูก จากลูกบอลที่มีอยู่ทั้งหมด 7 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{7}{3} $ วิธี

$\therefore n(S) = \binom{7}{3} $

เหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ลูกบอลที่สุ่มหยิบขึ้นมาทั้ง 3 ลูกนั้น มีสีเหมือนกัน 2 ลูก ซึ่งแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสีขาวเหมือนกัน 2 ลูก และหยิบได้ลูกบอลสีดำ 1 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{3}{2}\binom{4}{1} $ วิธี

กรณีที่ 2 หยิบได้ลูกบอลสีดำเหมือนกัน 2 ลูก และหยิบได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{4}{2}\binom{3}{1} $ วิธี

$\therefore n(E)=\binom{3}{2}\binom{4}{1}+ \binom{4}{2}\binom{3}{1} $

$\therefore P(E)=\dfrac{\binom{3}{2}\binom{4}{1}+ \binom{4}{2}\binom{3}{1}}{\binom{7}{3} } =\dfrac{6}{7} $

[lek2554]

ข้อสอบเอ็นทรานซ์ ปีการศึกษา 2530

3. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 13 สี สีละ 4 ลูก โดยที่ลูกบอลในแต่ละสี มีหมายเลข 1, 2, 3, 4 ตามลำดับ

สุ่มหยิบลูกบอลออกมา 3 ลูก พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลมีสีเหมือนกัน 2 ลูกเท่านั้น

Answer

$\frac{72}{425} $

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kurumi_00

จากกระทู้ ความน่าจะเป็น/post 30 มกราคม 2010 10:54

ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 6 ลูก สีเขียว 7 ลูก สีน้ำเงิน 8 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลออกมา 3 ลูก อย่างสุ่มทีละลูกโดยไม่มีการใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสามลูกเป็นคนละสีกัน

Answer

$\dfrac{24}{95}$

แนวคิด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

รวมแล้วมีลูกบอลทั้งหมด 21 ลูกหยิบที่ละลูกจะได้ $n(S)= 21\times 20\times 19$

ต้องการได้คนละสี เนื่องจาก หยิบที่ละลูก เราจึงอาจจะหยิบ ขาว เขียว หรือ น้ำเงินก่อนก็ได้

ดังนั้น เราก็หาวิธี การเรียงลำดับการหยิบโดยการสับเปลี่ยน ขาว เขียว น้ำเงิน สามารถสลับที่กันได้ 3! = 6 แบบ

โดยแต่ละแบบ สามารถ หยิบลูกบอลได้ 6x7x8 ดังนั้น สรุป $n(E) = 6\times 6\times 7\times 8$

ดังนั้น $P(E) = \dfrac{6\times 6\times 7\times 8}{21\times 20\times 19} = \dfrac{24}{95}$ ครับ

[lek2554]

การแจกสิ่งของเหมือนกัน n สิ้ง ให้คน r คน โดยใช้หลักการ stars and bars

http://www.mathcenter.net/forum/show...rs+bars&page=4

[lek2554]

ข้อสอบเอ็นทรานซ์ ปีการศึกษา 2545/การใส่จดหมายลงในซองที่จ่าหน้าซองไว้แล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

จากกระทู้ ส่งจดหมายถูกซอง/06 กันยายน 2010 22:05

ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับ ที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าซองไว้แล้ว 5 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ

ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และไม่น้อยกว่า 1 ซอง มีค่าเท่ากับเท่าใด

Answer

$\frac{75}{120}$

แนวคิด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

จากกระทู้ ส่งจดหมายถูกซอง/09 กันยายน 2010 16:56

สมมติให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}

n(S) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B ซึ่งจะมีได้ 5! = 120 วิธี

n(E) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B โดยที่

กรณีที่ 1. ตรง 1 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) $\not= 2$, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 1) = 5 แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 1)D_4$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_4$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 4 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 2. ตรง 2 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 2) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 2)D_3$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_3$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 3 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 3. ตรง 3 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3)= 3, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 3) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 3)D_2$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_2$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 2 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

ดังนั้น n(E) = $C(5, 1)D_4 + C(5, 2)D_3 +C(5, 3)D_2 = 5(9) + 10(2) + 10(1) = 75$

ดังนั้น P(E) = 75/120
................................................................................................................................ .......

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

จากกระทู้ ส่งจดหมายถูกซอง/09 กันยายน 2010 19:14

note. $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) , D_1 = 0, D_2 = 1$

ให้ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซอง
จะได้ $D_1=0, D_2=1$ ลองเขียนดูนะครับไม่ยาก

$D_3 = 2 $ คือ
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 กับ
f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2

สำหรับจดหมายตั้งแต่ 4 ฉบับขึ้นไป (ใช้กับ 3 ฉบับก็ได้)

จะแบ่งเป็น 2 กลุ่มคือ
กลุ่มที่ 1, f(1) = b และ f(b) = 1 (โดยที่ b $\ne 1$)
กลุ่มที่ 2, f(1) = b แต่ $f(b) \ne 1$

ถ้ามี n ฉบับ
กลุ่มที่ 1, ได้แก่
f(1) = 2 และ f(2) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
f(1) = 3 และ f(3) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
.....
f(1) = n และ f(n) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-2}$ วิธี

กลุ่มที่ 2, ได้แก่
f(1) = 2 แต่ f(2) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
f(1) = 3 แต่ f(3) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
.....
f(1) = n แต่ f(n) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-1}$ วิธี

รวม 2 กลุ่มก็จะได้ $D_n = (n-1)(D_{n-2} + D_{n-1})$

................................................................................................................................ .......

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

จากกระทู้ ส่งจดหมายถูกซอง/09 กันยายน 2010 21:53

โจทย์ทำนองนี้เคยเป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ในช่วงประมาณไม่เกิน 10 ปีที่ผ่านมา ผมจำไม่ได้ครับว่าเป็นของ พ.ศ.ไหน ถ้าสนใจลองหาดู

ส่วนวิธีการมองปัญหาให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาที่ถ้านั่งทำซ้ำ ๆ ต่อไปแล้วจะยากขึ้นเรื่อย ๆ ครับ

เช่น สมมติว่ามีลำดับ
2, 5, 8, 11, ...

ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 3n-1$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน บวกด้วย 3 เสมอ
$a_2 = a_1 + 3$
$a_3 = a_2 + 3$ ...

ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + 3$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$

หรือลำดับ
2, 4, 8, 16, ...
ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 2^n$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน คูณด้วย 2 เสมอ
$a_2 = 2a_1$
$a_3 = 2a_2 $ ...

ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = 2a_{n-1}$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$

หรือลำดับ Fibonacci ที่โด่งดังคือ
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
จะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = a_2 = 1$

หรือถ้าถามว่าจะมีจำนวนในระบบฐานสองที่มีความยาว 8 ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งไม่มีศูนย์สองตัวใด ๆ อยู่ติดกัน

เช่น 01110111 ใช้ได้ แต่ในขณะที่ 10011111 แบบนี้ใช้ไม่ได้ ถ้านับโดยตรงก็จะทำได้เฉพาะเมื่อมีความยาวน้อย ๆ
เช่น
n = 1 จะมี 2 จำนวนคือ 0 กับ 1
n = 2 จะมี 3 จำนวนคือ 01, 10, 11
n = 3 จะมี 5 จำนวนคือ 010, 011, 110, 101, 111,

แต่ถ้ายาวมาก ๆ และสามารถหาออกมาเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด ก็จะทำให้คำนวณได้ง่ายขึ้น

(ในที่นี้จะได้ $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = 2, a_2 = 3$ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทำนองเดียวกันกับลำดับ Fibonacci นั่นเองครับ)
................................................................................................................................ .......

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

จากกระทู้ ส่งจดหมายถูกซอง/09 กันยายน 2010 22:40

มีอีกวิธีคือนั่งไล่ครับ ต้องใช้พลังนิดนึง
ได้มาแล้วว่า $n(E)=5D_4 + 10D_3 +10D_2$
โดยที่ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซองทั้งหมด

ชัดเจนว่า $D_2=1$ (สลับซองกัน)

ต่อไปจะหา $D_3$ ให้คิดว่าเอาเลข 1,2,3 มาเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ให้เลขอยู่ตรงกับตำแหน่งของตัวเอง ไล่ดูจะได้ 321 กับ 231 รวม $D_3=2$

สุดท้าย $D_4$ แบ่งเป็นสามกรณีคือ เลข 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 หรือ 3 หรือ 4
โดยความสมมาตร แต่ละกรณีเกิดขึ้นเท่าๆกัน ดังนั้นนับกรณีเดียวพอ แล้วคูณสาม
สมมติว่า 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 ไล่ได้ 2143, 3142, 4123 รวม 3 แบบ
ดังนั้น $D_4=3\times 3=9$

นำไปแทนค่า $n(E)=5\times 9 + 10\times 2 +10=75$

[monster99]

ข้อสอบ : มีคนอยู่ 4 คน กับม้านั่ง 9 ที่นั่ง จะจัดคนนั่งได้กี่วิธี โดยที่ไม่มี 2 คนใดๆอยู่ติดกัน (รบกวนแนะนำหน่อยครับ)

[Metamorphosis]

โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

My_Solution

$n(S) = 2^{10} = 1024$ = จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนในระบบฐานสอง

เช่น 1011000111

ให้ 1 แทนขึ้นหัว , 0 แทนขึ้นก้อย

หาจำนวนวิธีในเหตุการณ์ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เช่น 1000101010 จะได้จากพจน์ที่ 10 ของลำดับ

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$

หรือ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

จะเห็นว่า $a_{10} = 144$

ดังนั้น $P(E) = 1-\frac{144}{1024} = \frac{55}{64}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

จำนวน 1 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 2 จำนวนได้แก่ 0, 1 ดังนั้น $a_1=2$
จำนวน 2 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 3 จำนวนได้แก่ 00, 01, 10 ดังนั้น $a_2=3$
จำนวน 3 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 5 จำนวนได้แก่ 000, 001, 010, 100, 101ดังนั้น $a_3=5$
เป็นต้น.

พิจารณาจำนวน n หลักใด ให้ $a_n$ แทนจำนวนของจำนวนระบบฐานสอง n หลักที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน

เราจะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1 (หลักซ้ายมือสุด)
กรณีที่ 2 ขึ้นต้นด้วย 0

กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1
แล้วจำนวนในหลักต่อไป ตัวที่ 2 จะต้องเป็น 0 เท่านั้นเลือกได้ 1 วิธี
คือเป็น 10...............
ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-2 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-2}$ จำนวน

กรณีที่ 2. ขึ้นต้นด้วย 0
0...............
ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-1 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-1}$ จำนวน

นั่นคือ $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$

หมายเหตุ เมื่อครู่ผมลองไปอ่านคร่าว ๆ ในเว็บเด็กดี มีปัญหาหลายข้อที่นักเรียนคุยกันว่าทำไม่ได้ แต่โจทย์พวกนั้นส่วนมากเป็นโจทย์แนวเด็กประถมสายสอบแข่ง เช่น พวก Po leung kuk, Emic, IMSO ในเรื่องของการนับ (combinatorics) และ ทฤษฎีจำนวน พวกหาเศษ

ซึ่งถ้าเป็นนักเรียนที่สอบแข่งมาตั้งแต่เด็กคงหวานหมู แต่ถ้าใครที่ปกติไม่ได้สัมผัสโจทย์แนวนี้ อาจจะหืดขึ้นคอ ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นตรงไหน ดังนั้นในการเตรียมสอบครั้งถัดไป บางทีอาจจะต้องหยิบโจทย์เด็กประถมพวกนี้มาลองทำดูนะครับ.

[Metamorphosis]

2. จงหาจำนวนสับเซต {${a_{1},a_{2},a_{3}}$} ของเซต {1,2,3,...,14} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

วิธีหนึ่งที่ทำข้อ 2 ได้คือ ใช้ slack variable หรือตัวแปรที่ปรับอสมการเป็นสมการ มาช่วยครับ

มองเงื่อนไข $ a_2 -a_1 \geq 3 $ เป็น $ a_1+3+ \varepsilon _1 = a_2$ โดย $\varepsilon _1 \geq 0 $

และ $ a_3 -a_2 \geq 3 $ เป็น $ a_2+3+ \varepsilon _2 = a_3$ โดย $\varepsilon _2 \geq 0 $

เชื่อม 2 สมการเป็นหนึ่งเดียว ดังนั้นเท่ากับว่า หาแค่ $a_1 ,\varepsilon _1 ,\varepsilon _2$ ที่สอดคล้องกับ

$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$

แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $

ทดได้โดยง่ายว่า ถ้า $a_1 = i \,\, ,(1 \leq i \leq 8 )$ แล้ว จะมี $ \varepsilon _1 ,\varepsilon _2 $ ที่สอดคล้องกับ (*) อยู่ $ 1+2+...+(9-i) $ แบบ

ถ้าผมทดไม่ผิด ข้อนี้ตอบ 120 ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$
แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $ โดย $\varepsilon _1,\varepsilon _2 \geq 0 $

ผมขอลองทำต่อแล้วกัน
ดังนั้น $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 8-a_1$
จากนั้นแทนค่า$a_1$ลงไปจะได้อสมการทั้งหมด 8 อสมการตามค่าของ$a_1$
เริ่มจากค่า$a_1$ที่มากที่สุดก่อน
$a_1=8$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 0$.....มีได้เซตเดียวคือ$\varepsilon _1, \varepsilon _2=0$
$a_1=7$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 1$......เกิด2กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$.....เกิดได้ 2เซต รวมแล้วได้$1+2=3$ เซต
$a_1=6$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 2$....เกิด3กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกและกรณีสองแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$.....ถ้าประยุกต์เรื่องการแจกของแบบไม่มีคนได้ของ จะได้ว่าเซตที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เท่ากับ$\binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1} $เกิดได้อีก 3เซต รวมแล้วได้$1+2+3=6$ เซต

สังเกตว่าเป็นไปตามที่คุณpasser-byได้เขียนไว้ จะเกิดกรณีเพิ่มขึ้น
$a_1=5$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+\binom{4}{1}=1+2+3+4=10 $
$a_1=4$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+\binom{5}{1}=1+2+3+4+5=15 $
$a_1=3$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+\binom{6}{1}=1+2+3+4+5+6=21 $
$a_1=2$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+6+\binom{7}{1}=1+2+3+4+5+6+7=28 $
$a_1=1$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ
$1+2+3+4+5+6+7+\binom{8}{1}=1+2+3+4+5+6+7+8=36 $

รวมทั้งหมดเกิดได้เท่ากับ $1+3+6+10+15+21+28+36=120$ เชต

ขอบคุณคุณpasser-byมากครับที่ช่วยชี้ทางสว่างให้

[กิตติ]

กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 10 ใบ ในแต่ละใบจะมีหมายเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ 10อยู่ใบละหนึ่งหมายเลข นาย ก,ข,ค หยิบบัตรออกจากกล่องคนละ 1 ใบ โดยให้นาย ก หยิบก่อน ตามด้วย นาย ข และนาย ค ตามลำดับ การหยิบนี้หยิบแล้วไม่ใส่คืน จะมีกี่วิธีที่นาย ก หยิบบัตรที่มีหมายเลขที่มีค่ามากกว่านาย ข.และนาย ข หยิบบัตรที่มีหมายเลขที่มีค่ามากกว่านาย ค
(โจทย์ในหนังสือคู่มือเล่มหลักสูตรเก่า ค 016 พ.ศ.2536 ของอาจารย์สมัย เหล่าวานิชย์)

Answer

$\binom{10}{3}$

แนวคิด

ข้อนี้ถ้าคิดมากมานั่งไล่รับรองเหนื่อยตาย....เฉลยของอ.สมัยแค่ห้าบรรทัด เพราะการหยิบธนบัตรขึ้นมาพร้อมกัน 3 ใบ มันจะได้ธนบัตรที่มีหมายเลขต่างกันที่เรียงกันเองอยู่แล้วจากมากไปน้อย ก็แค่เลือกหยิบใบที่มากที่สุดให้นาย ก. ใบที่น้อยที่สุดให้นาย ค. และที่เหลือให้นาย ข ก็ได้ตามโจทย์ต้องการ ใครอยากแยกเขียนเป็นกรณีก็ได้ เสร็จแล้วบอกกันด้วย

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

มีคนอยู่ 4 คน กับม้านั่ง 9 ที่นั่ง จะจัดคนนั่งได้กี่วิธี โดยที่ไม่มี 2 คนใดๆอยู่ติดกัน

Answer

$360$

แนวคิด

[monster99]

ขอบคุณมากครับ กระจ่างแจ่มเลย ^_^

[lek2554]

คุณลุง Banker กับท่านซือแป๋ หยินหยาง สะสมตุ๊กตาไว้ใน Collection ของตนเองคนละ $m$ และ $n$ ตัวตามลำดับ โดยที่ $m<n$ วันหนึ่งทั้งสองเกิดมีความคิดที่จะนำตุ๊กตามาแลกเปลี่ยนกัน

และเพื่อไม่ให้เกิดการได้เปรียบเสียเปรียบ จึงตกลงกันว่า เมื่อแลกเปลี่ยนแล้วต่างฝ่ายจะต้องมีตุ๊กตาเป็นจำนวนเท่าเดิม และถ้าต่างฝ่ายยังอาลัยอาวรณ์กับตุ๊กตาของตนเองจะไม่แลกเปลี่ยนกันเลยก็ได้

จำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดที่ทั้งสองคนจะแลกเปลี่ยนตุ๊กตากันได้มีจำนวนเท่ากับเท่าใด

Answer

$\binom{m+n}{m} $ หรือ $\binom{m+n}{n} $

แนวคิด

เดี๋ยวมาลงให้ครับ ยังไม่ว่างพิมพ์

[Metamorphosis]

ข้อนี้คิดยังไงหรอครับ
มีห้องอยู่ทั้งหมด 5 ห้อง มีสามห้องมีคนอยู่ได้สามคน ที่เหลืออีกสองห้องได้เพียงคนเดียว ถ้าเราจะนำคนทั้งหมด 5 คนเข้าพัก ณ ห้อง 5 ห้องนี้ เราจะสามารถทำได้กี่วิธี

[lek2554]

ลองแจกแจงกรณีต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดดูหรือยังครับ