โจทย์ตรีโกณ ช่วยคิดหน่อยครับ

[sck]

ช่วยแสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ ขอบคุณครับ
โอ้ ใส่ผิด board ต้อง board ม.ปลาย ถึงจะถูก แต่ก็แล้วกันนะครับ

[nongtum]

เอาไปก่อนสามข้อ

1. จากโจทย์จะได้ \[\frac{3\sin{A}}{\cos{A}}=\frac{\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}{\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}\]
คูณไขว้แล้วจัดรูปใหม่โดยใช้ \(\sin^2{A}=1-\cos^2{A},\ \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\) จะได้ \[(2\sin{A}\cos{A})\cos{B}+(2\cos^2{A}-1)\sin{B}=2\sin{B}\]
นั่นคือ \[\sin{(2A+B)}=2\sin{B}\]

4. ไม่แน่ใจครับว่ามุม B โผล่มาจากไหน แต่หากอยากถาม tan A ทำได้ดังนี้ครับ
\(\sin^6{A}+\cos^6{A}=(\sin^2{A}+\cos^2{A})(\sin^4{A}-\sin^4{A}\cos^4{A}+\cos^4{A})=1-3\sin^2{A}\cos^2{A}=\frac{13}{16}\)
เนื่องจาก A อยู่ในจตุภาคที่สอง จะได้ sin(2A)=2sin(A)cos(A)=-1/2 หรือ A=\(\frac{11\pi}{12},\ \frac{7\pi}{12}\) ซึ่ง \[\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\]แก้สมการหา tan A จะได้ \(\tan{A}=\pm2-\sqrt{3}\) เป็นคำตอบ
(หมายเหตุ: สังเกตว่า tan 2A มีทั้งค่าบวกและค่าลบ เพราะ 180°<2A<360° การคิดคำตอบจึงต้องแยกกรณีคิดด้วย)

5. ด้านให้มาสามด้านครบ ดังนั้นสามารถใช้ cosine's law ได้ดังนี้
\[\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{\sqrt{2}}\]
นั่นคือ C=45°, tan(C)=1 และ tan(A)+tan(B)-tan(A)tan(B)=-1

Edit3: แก้ข้อ 4,5
Edit4: แก้ข้อ 4

[sck]

ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ช่วยตอบครับ
โจทย์ข้อ 4 ถามหา tan A ครับ พิมพ์ผิด
แต่ในตัวเลือกข้อ 4 ที่มีไม่มี \( \frac{-1}{\sqrt[]{3}} \) ครับที่มีเป็น
1. -(2+ึ3)
2. -(2-ึ3)
3. 2+ึ3
4. ข้อ 1 และ 2 ถูก

ยังไงก็ช่วยดูให้อีกทีนะครับ ผมคิดจนมึนแล้วจริงๆ

ส่วนข้อ 5 Cosine Law เป็น \( cos A =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \) ไม่ใช่หรือครับ
แต่ ผมพอดูข้อนี้ออกแล้ว ใช้ cos c แก้ ได้ c = 45 องศา
แล้วไปแก้ต่อได้ tan(A + B)= tan (180 - C) = -1
ทำต่อจะได้คำตอบ tan A + tan B - tan A tan B = -1 จะถูกไหมครับ
ไม่รู้ทำไม่ตอนแรกมองไม่ออก ยังไงก็ขอบคุณมากครับที่แนะแนวทาง
แล้วก็ ข้อที่เหลือด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[passer-by]

ข้อ 2 สนุกดี ครับ

ให้ S คือ ค่าที่ต้องการหา จากนั้นนำ 2sin 5 คูณตลอด จะได้\(\large \begin{array}{lc} 2k\cdot S= 2sin5^{\circ}cos45^{\circ}+2sin5^{\circ}cos5^{\circ}+2sin5^{\circ}cos15^{\circ}+2sin5^{\circ}cos35^{\circ}+ 2sin5^{\circ}sin35^{\circ}+ 2sin5^{\circ}sin65^{\circ} \\ \qquad= (sin 50^{\circ}-sin40^{\circ}) + sin 10^{\circ} +(sin 20^{\circ}-sin10^{\circ}) + (sin 40^{\circ}-sin30^{\circ}) +(cos 30^{\circ}-cos40^{\circ}) +(cos 60^{\circ}-cos70^{\circ}) \\ \qquad = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \)

(หวังว่าคุณ sck คงไปตัดให้เหลือึ3/2 ได้นะครับ ใช้เรื่อง co-function นิดหน่อย ก็เรียบร้อยแล้ว)

ดังนั้น S= ึ3/(4k)

[sck]

ขอบคุณ คุณ passer-by มากครับ มิน่าผมถึงมองไม่ออก
ดูข้อ 2 นี้เหมื่อนง่ายแต่ทำทีไร ติด ึ. กับ k เต็มไปหมด ทุกทีเลย

[nongtum]

แก้ข้อสี่กับห้าแล้ว หวังว่าคราวนี้คงไม่ผิด ว่าแล้วก็มาตอบข้อสุดท้าย...

2. เนื่องจาก \(\sin{A}=\sin{(180-A)}=\sin{3B}
=3\sin{B}-4\sin^3{B}=\frac{117}{125}\)
หากมอง sin B เป็นตัวแปรแล้วแก้หา sin B ออกมาจะพบว่า sin B=3/5 ตัวเดียวเท่านั้น (เพราะคำตอบอีกสองตัวเป็นลบ และค่า sine ของมุมในสามเหลี่ยมเป็นบวกเสมอ)

[sck]

ขอบคุณครับสำหรับทุกคำตอบนะครับ
ขอถามต่ออีกข้อนะครับ
จงหาค่าของ csc 4p/15 + csc 8p/15 + csc 16p/15 + csc 32p/15

[gon]

ชอบวิํีธีไหนครับ. "จัดรูปทางพีชคณิต หรือ ทฤษฎีสมการ "

[sck]

วิธีไหนก็ได้ครับ แต่ทำให้เด็ก ม.ปลาย ดูแล้วเข้าใจได้ ก็จะดีมากครับ

[gon]

งั้นเอาวิธีการจัดรูปทางพีชคณิตล่ะกันนะครับ งานนี้มีการเปิดเผยทริกส่วนตัวผมด้วย นำไปประยุกต์เล่นได้มากทีเดียวนะ

\[\because \quad \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} \Rightarrow \frac{1}{\sin \frac{4\pi}{15}} = \frac{1}{\sin\frac{2\pi}{3} \cos \frac{2\pi}{5} -\cos\frac{2\pi}{3} \sin \frac{2\pi}{5}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{2\pi}{5} + \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{5} } \]
ทำนองเดียวกันกับอีก 3 พจน์ที่เหลือ เมื่อทำเสร็จจับคู่หาผลบวกของพจน์ที่ 1 กับ 3 และ 2 กับ 4 โดยแปลงให้อยู่ในมุมของ \(\frac{2\pi}{5}, \, \frac{4\pi}{5} \) โดยใช้เอกลักษณ์ \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) ที่ตัวส่วน จะได้
\[\frac{\sqrt{3}\cos \frac{2\pi}{5}}{\cos^2\frac{2\pi}{5} - \frac{1}{4}} - \frac{\sqrt{3}\cos \frac{4\pi}{5}}{\cos^2\frac{4\pi}{5} - \frac{1}{4}} \]
เมื่อรวมร่างจะได้ \[ \frac {\sqrt{3}[\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \frac{1}{4}][\cos \frac{2\pi}{5} - \cos \frac{4\pi}{5}]}{\cdots} = 0\]

เพราะว่า \( \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \frac{1}{4} = 0 \) ซึ่งแสดงได้ง่าย ๆ ดังนี้

เนื่องจาก \( \cos 0, \cos \frac{2\pi}{5} , \cos \frac{4\pi}{5}\) เป็นรากของสมการ \(2n\pi = 5\theta \Rightarrow \cos 3\theta = \cos 2\theta \Rightarrow 4\cos^3\theta - 3\cos \theta = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow 4\cos^3\theta - 2\cos^2 \theta - 3\cos \theta + 1 = 0 \)

หารด้วย \(\cos \theta - 1 \) เพราะจะไม่เอา \(\theta = 0 \) จะได้ \(4\cos^2 \theta + 2\cos \theta - 1 = 0 \) นั่นคือ \( \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{4} \)