มาอีกเเล้วครับท่าน วันนี้มีโจทย์ดีๆมาฝาก

[อาจารย์โกวเล้ง]

วันนี้มีโจทย์ดีๆมาฝาก ไงก็ช่วยแก้ด้วยนะครับ ฝึกกันเอานะมีไรก้โทรมาถามได้0858619673เล้งนะ
1. x+1/x = 5 ถ้า x³+1/x³ มีค่าเท่าใด.
2. x-1/x = 20 ถ้า x³-1/x³ มีค่าเท่าใด
3. x²+7x+12 = 13 ค่าของ x³-1/x³ มีค่าเท่าใด
4. a²-19a+84 = 83 ค่าของ a³+1/a³ มีค่าเท่าใด
5. (x²+3)(x²+3+14)+49 ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ไปเเล้วนะ โทรมานะเดียวจะมาเฉลย

[nongtum]

สี่ข้อแรกสามารถใช้ $a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$ ช่วยคิดได้ครับ
ข้อสุดท้าย หากมอง $x^2+3$ เป็นตัวแปรอะไรสักอย่าง กระจายนิดหน่อย คำตอบก็จะลอยมาแล้วครับ

[อาจารย์โกวเล้ง]

ออ ก็ได้นะ เเต่ว่า ทำไมคนตอบน้อยจังเลย คนเรา 555เจ้ามาแสดงให้ดูด้วยนะ

[M@gpie]

แอบทิ้งเบอร์ไว้ นี่ มีความหมายแฝงอะไรรึเปล่าครับ ??

[Mastermander]

แถมให้อีกหนึ่งข้อนะครับเนื่องจากเห็นกำลังแค่สามเลยไม่ค่อยซะใจ

6. ถ้า $$x^{300}+\frac{1}{x^{300}}=\sqrt3$$ แล้ว \[x^{30000}+\frac{1}{x^{30000}}\] มีค่าเท่าใด

ปล. ชื่อเหมือนกันซะงั้น

[CmKaN]

ข้อด้านบนขอเดาว่าตอบ $1$ รึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:

6. ถ้า $$x^{300}+\frac{1}{x^{300}}=\sqrt3$$ แล้ว \[x^{30000}+\frac{1}{x^{30000}}\] มีค่าเท่าใด

$\displaystyle{ x^{300}+\frac{1}{x^{300}} = \sqrt{3} \Rightarrow x^{600}+\frac{1}{x^{600}} = (x^{300}+\frac{1}{x^{300}})^2 - 2 = 1 }$

ให้ $\displaystyle{ y=x^{600} }$ จะได้ว่า $\displaystyle{ y+\frac{1}{y} = 1 }$
ให้ $\displaystyle{ a_n = y^n+\frac{1}{y^n} }$
จะได้ว่า
$\displaystyle{ a_{n+1} = (y^n+\frac{1}{y^n})(y+\frac{1}{y}) - (y^{n-1}+\frac{1}{y^{n-1}}) = a_n - a_{n-1} }$ สำหรับ $n\geq 2$
เราทราบว่า
$\displaystyle{a_1 = 1,a_2=-1,a_3=-2,a_4=-1,a_5=1,a_6=2}$ และ
$\displaystyle{ a_{n+6} = a_{n+5} - a_{n+4} = - a_{n+3} = a_{n+1} - a_{n+2} = a_n}$
ดังนั้น
$a_{50} = a_{44} = a_{38} = a_{32} = a_{26} = a_{20} = a_{14} = a_8 = a_2 = - 1$
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{x^{30000}+\frac{1}{x^{30000}} = -1}$

[CmKaN]

เดาผิดไปนิดส์นึง
อยากถามนิดนึงครับ ตอนกำลังคิดข้อข้างบนอยู่ก็เกิดงงๆเล็กน้อย(เหมือนเคยเจอในหนังสือMy Math)แต่ก็ยังสงสัยอยู่ครับ เช่น จากโจทย์ข้างบน ให้ $x^{300}=A$ ดังนั้น $x^{3000}=A^{10}$ จาก $A+\frac{1}{A}=\sqrt{3}$ ได้ $A^{2}+\frac{1}{A^{2}}=1$ ได้ $A^{4}+\frac{1}{A^{4}}=-1$สงสัยครับว่าทำไมถึงได้จำนวนาลบอ่ะครับ ทั้งที่ยกกำลังเลขคู่ควรจะได้จำนวนบวก,ศูนย์

[M@gpie]

แสดงได้ไม่ยากครับว่าสมการ \[x+\frac{1}{x}=k\]
ถ้า $k \in (-\infty,-2] \cup [2,\infty )$ แล้ว $x \in \mathbb{R}$
ถ้า $k \in (-2,2)$ แล้ว $x \in \mathbb{C}$ จึงยกกำลังคู่สามารถเป็นลบได้ครับ