ขอแนวคิดโจทย์หาจำนวนเฉพาะ p ข้อนี้หน่อยครับ

[Singularity]

จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ $ \frac{2^{p-1}-1 }{p}= k^2 ; k\in \mathbb{Z} $

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ $ \frac{2^{p-1}-1 }{p}= k^2 ; k\in \mathbb{Z} $

$2^{p-1}-1=pk^2$

$2^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod{3} $

แต่ $3\nmid p$ จึงได้ $3|k^2$ และได้ $k^2=9m,\exists m\in \mathbb{Z} $

และจะได้ว่า

$2^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod{9}$

$ 2^{p-1} \equiv 1 \pmod{9}$

$2^6 \equiv 1 \pmod{9}$

$p-1=6,12,18,60,67...$

p=7

ถ้า $3|p$ ก็มีตัวเดียวคือ 3

p=3,7



ไม่รู้มีตัวอื่นอีกไหมนะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$p-1=6,12,18,60,66...$

ตรงนี้ $p=19,61,67,73,79,91,....$ ได้ปะครับ
ผมไม่รู้อ่ะครับ โปรดชี้เเนะ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ตรงนี้ $p=19,61,67,73,79,91,....$ ได้ปะครับ
ผมไม่รู้อ่ะครับ โปรดชี้เเนะ

ถ้าสมมุติ $p>10$ มันจะหารไม่ลงน่ะครับ

คือ $p\nmid 2^{p-1}-1$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ถ้าสมมุติ $p>10$ มันจะหารไม่ลงน่ะครับ

คือ $p\nmid 2^{p-1}-1$

ทฤษฎีบทของเเฟมาต์อ่ะครับ
$2^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ ไม่ใช่เหรอครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ทฤษฎีบทของเเฟมาต์อ่ะครับ
$2^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ ไม่ใช่เหรอครับ

ถูกแล้วครับ ขอโทษทีครับ

ถ้าสมมุติ$ p>10 $ มันจะหารไม่ลงน่ะครับ--------< มันจะไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ

เดี๋ยวลองไปคิดก่อนนะครับ แก่แล้วร่างกายไปไม่ไหว

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Singularity

จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ $ \frac{2^{p-1}-1 }{p}= k^2 ; k\in \mathbb{Z} $

My Solution

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่
$ \frac{2^{p-1}-1 }{p}= k^2$
แทนค่า $p=2$ แล้วพบว่าไม่จริง ดังนั้น $p$ เป็นจำนวนคี่ นั่นคือ $2|(p-1)$
$2^{p-1}-1=k^2p$
$(2^{\frac{p-1}{2}}-1)\cdot (2^{\frac{p-1}{2}}+1)=k^2p$
พิจรณา
$gcd(2^{\frac{p-1}{2}}-1,2^{\frac{p-1}{2}}+1)=gcd(2,2^{\frac{p-1}{2}}-1)=1$
จะได้ว่า มี$x,y \in \mathbb{Z^+} $ ซึ่ง $(x,y)=1,xy=k$
และ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=py^2$ หรือ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=px^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$

กรณีที่ 1 : $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=py^2$
พิจรณา $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2\rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}=x^2+1$
ถ้า $p>3$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=x^2+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$
ดังนั้น $p=3$ เท่านั้นที่เป็นไปได้ และเมื่อแทนแล้วก็พบว่าเป็นจริง

กรณีที่ 2 : $2^{\frac{p-1}{2}}-1=px^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$
พิจรณา $2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$
$2^{\frac{p-1}{2}}=(y-1)(y+1)$
จะได้ว่ามี $a,b \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $a,b \ge 0,a+b=\frac{p-1}{2}$
และ $y-1=2^a,y+1=2^b$
จะได้ $2=2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1)$
จะได้ว่า $a=1,b=2$ นั่นคือ $2^{\frac{p-1}{2}}=2^3\rightarrow p=7$
และเมื่อแทนกลับไปใน Original equation ก็พบว่าเป็นจริง

$\therefore p=3,7$ only

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

My Solution

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่
$ \frac{2^{p-1}-1 }{p}= k^2$
แทนค่า $p=2$ แล้วพบว่าไม่จริง ดังนั้น $p$ เป็นจำนวนคี่ นั่นคือ $2|(p-1)$
$2^{p-1}-1=k^2p$
$(2^{\frac{p-1}{2}}-1)\cdot (2^{\frac{p-1}{2}}+1)=k^2p$
พิจรณา
$gcd(2^{\frac{p-1}{2}}-1,2^{\frac{p-1}{2}}+1)=gcd(2,2^{\frac{p-1}{2}}-1)=1$
จะได้ว่า มี$x,y \in \mathbb{Z^+} $ ซึ่ง $(x,y)=1,xy=k$
และ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=py^2$ หรือ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=px^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$

กรณีที่ 1 : $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=py^2$
พิจรณา $2^{\frac{p-1}{2}}-1=x^2\rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}=x^2+1$
ถ้า $p>3$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=x^2+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$
ดังนั้น $p=3$ เท่านั้นที่เป็นไปได้ และเมื่อแทนแล้วก็พบว่าเป็นจริง

กรณีที่ 2 : $2^{\frac{p-1}{2}}-1=px^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$
พิจรณา $2^{\frac{p-1}{2}}+1=y^2$
$2^{\frac{p-1}{2}}=(y-1)(y+1)$
จะได้ว่ามี $a,b \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $a,b \ge 0,a+b=\frac{p-1}{2}$
และ $y-1=2^a,y+1=2^b$
จะได้ $2=2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1)$
จะได้ว่า $a=1,b=2$ นั่นคือ $2^{\frac{p-1}{2}}=2^3\rightarrow p=7$
และเมื่อแทนกลับไปใน Original equation ก็พบว่าเป็นจริง

$\therefore p=3,7$ only

ยังมีวิธีืที่ง่ายกว่าครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ยังมีวิธีืที่ง่ายกว่าครับ

ทำอย่างไรครับ ช่วยแนะนำด้วยครับ

[Singularity]

ขอขอบคุณ สำหรับแนวคิดนะครับ อีกข้อครับ
ให้ k เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่า มีจำนวนนับ m,n เป็นอนันต์ชุดที่สอดคล้องกับสมการ $(m-n)^{2}=kmn+m+n$
ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[จูกัดเหลียง]

$k$ เป็นจำนวนนับเหรอครับ = ="

[LightLucifer]

#10
ข้อนี้ TMO ครั้งไหนสักครั้งนี่ครับ
ถ้าไม่ดูเฉลยผมก็คงทำไม่ได้ 55+
จะได้ลางๆว่าจัดให้อยู่ในรูปสมการกำลังสอง แล้วหาคำตอบแรกให้ได้ แล้วใช้วิธีคล้าย vieta jumping นะครับ

ปล. เดี๋ยวจะลองคิดดูให้นะครับ เพราะเฉลยหายไปแล้ว 55+

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#10
ข้อนี้ TMO ครั้งไหนสักครั้งนี่ครับ
ถ้าไม่ดูเฉลยผมก็คงทำไม่ได้ 55+
จะได้ลางๆว่าจัดให้อยู่ในรูปสมการกำลังสอง แล้วหาคำตอบแรกให้ได้ แล้วใช้วิธีคล้าย vieta jumping นะครับ

ปล. เดี๋ยวจะลองคิดดูให้นะครับ เพราะเฉลยหายไปแล้ว 55+

TMO #6 ครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ทำอย่างไรครับ ช่วยแนะนำด้วยครับ

มันก็ไม่ง่ายกว่านักหรอกครับ ฉบับ mod เยอะ ๆ หน่อย 55+