ข้อนี้ง่ายๆๆๆ(ข้อสอบรร.ผมตอนคัดตัวเพชรยอดฯ)

[square1zoa]

กระผมออกข้อสอบข้อนี้เอง หวังว่ามีคนทำได้นะครับ

จงหา $p\in P$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$\frac{19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}}{p} \in \mathbb{Z} , \forall n\in \mathbb{N} $$

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

กระผมออกข้อสอบข้อนี้เอง หวังว่ามีคนทำได้นะครับ

จงหา $p\in P$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$\frac{19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}}{p} \in \mathbb{Z} , \forall n\in \mathbb{N} $$

ผมคิดว่าไม่มีค่า p ที่สอดคล้องครับ

[square1zoa]

ลองพิสูจน์ดูครับ

[tatari/nightmare]

อ้อ.................
ถ้าให้ n=1 เราได้ว่า $p\mid 22$ นั่นคือ $p=2 or 11$
แต่สังเกตว่า $19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}$ เป็นจำนวนคี่
ฉะนั้น $p=2$ ไม่ได้
ถ้า $p=11$ เราเลือก $n=10$
โดย fermat little theorem เราได้ว่า $19^{10}\equiv 1(mod 11)$
แต่เราต้องได้ว่า $19^{10}-2^{37}\equiv 0(mod 11)$ ตามสมมติฐาน
จึงได้ $2^{37}\equiv 1(mod 11)$
แต่โดย fermat little theorem จะได้ $2^{30}\equiv 2^10\equiv 1(mod 11)$
$\therefore 2^{37}\equiv 2^7=128\equiv 7(mod 11)$
นั่นคือ $1\equiv 7(mod 11)$ ซึ่งขัดแย้ง

[RoSe-JoKer]

แทน$ n=1$ เราได้ว่า $p|21$ นั้นคือ
$p=3$ หรือ$ 7 $
แทน $n=2$ เห็นได้ว่า มี $7$ เพียงตัวเดียวที่ยังจริงอยู่
ต่อไปนี้จะทำการพิสูจน์ว่า $7$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่ทำให้เงื่อนไขเป็นจริง
กรณี $n=2k $เห็นได้ว่า
$19^{2k}-2^{8k-3}\equiv 0 (mod7)$
$\Leftrightarrow 2^{2k}(1-8^{2k-1})\equiv 0 (mod7)$ ซึ่งเป็นจริง
กรณี n=2k+1 เห็นได้ว่า
$19^{2k+1}+2^{8k+1}\equiv 0 (mod7)$
$\Leftrightarrow ((-1)^k+1)((-1)^k-1)\equiv 0 (mod7)$ ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้นเราได้ว่า p=7 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

[square1zoa]

ถูกต้องครับ ง่ายมั้ยล่ะ

[God Phoenix]

โจทย์ข้อนี้มองตอนแรก จะงงมากเลยนะครับ
ผมเกือบจะข้ามไปแล้วด้วยซ้ำ

[Spotanus]

แต่ถ้าเราลดเงื่อนไขมันซะหน่อย ให้เป็น
$$\frac{19^p+(-1)^{p-1}2^{4p-3}}{p} \in \mathbb{Z} $$
ค่า $p=3$ ก็จะใช้ได้ด้วย

[square1zoa]

งั้นขอวิธีด้วยครับ น่าสนใจดีครับ (ขอบคุณครับสำหรับไอเดียตั้งโจทย์)

[Spotanus]

Fermat's little theorem ไงครับ (แต่ระวังเงื่อนไขห.ร.ม.ดีดี)

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

แต่ถ้าเราลดเงื่อนไขมันซะหน่อย ให้เป็น
$$\frac{19^p+(-1)^{p-1}2^{4p-3}}{p} \in \mathbb{Z} $$
ค่า $p=3$ ก็จะใช้ได้ด้วย

จริงครับ
ผมเช็คให้เลย

[คuรักlaข]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

น้องครับ อุตส่าห์ติดสสวท.มาแล้ว(เหรียญเงินอีกต่างหาก) ยังคิดเลขผิดอ่าเหรอ

คนเรามีผิดพลาดกันได้ครับ หรือว่าคุณทำเลขทุกข้อไม่เคยผิด

[square1zoa]

เหอๆๆๆ ขอโทษคร้าบ ถ้าคิดจริงจังน่ะครับ