ช่วยตรวจแบบฝึกหัดเรื่องคอนกรูเอนซ์ด้วยนะคับ

[Platootod]

คือตอนนี้ผมกำลังอ่านเรื่องคอนกรูเอนซ์อยู่หลังจากเลิกไปนานเอาล่ะในที่สุดตัดสินใจได้ว่าต้องจริงจังแล้ว
แล้วการอ่านของผมมีข้อสงสัยมากมายเพื่อไม่ให้เป้นการรกบอร์ดผมก็จะเอาปัญหามาตั้งในกระทู้นี้นะคับ
ปัญหาข้อแรกเลยละกันคับ
$1.2^{9999} หารด้วย 13 เหลือเศษเท่าไร$

[Ne[S]zA]

$$2^{12} \equiv 1 \pmod{13} $$
$$2^{12\times 833} \equiv 1^{833} \pmod{13} $$
$$2^{9996} \equiv 1 \pmod{13} $$
$$2^{9999} \equiv 8 \pmod{13} $$
ตอบเศษ $8$ ครับ(มั้ง)

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$2^{12} \equiv 1 \pmod{13} $$
$$2^{12\times 833} \equiv 1^{833} \pmod{13} $$
$$2^{9996} \equiv 1 \pmod{13} $$
$$2^{9999} \equiv 8 \pmod{13} $$
ตอบเศษ $8$ ครับ(มั้ง)

ไม่ใช่นะคับ
$a\equiv b(mod n)$
แล้ว
$a+c\equiv b+c(mod n)$
เมื่อ a c มีสมบัติข้างต้นเท่านั้น
$ac\equiv bc(mod n)$
คุณสามารถบอกได้ไหมคับว่า

$2^{9996}+8 \equiv 1+8 \pmod{13} $

[Ne[S]zA]

$2^{9996}\times 2^3 \equiv 1\times 2^3\pmod{13}$
ดังนั้น $2^{9999} \equiv 8 \pmod{13}$ หรือเปล่าหว่าไม่ได้อ่านมานาน
ปล.$2^{9996}+2^3=2^{9999}$ หรอครับ?

[Platootod]

หนังสือสอวนหน้า 131 คับ
ความจริงผมไม่อยากอ้างหนังสือหรอกคับเพราะตอนนั้นผมเคยอ่านจากหนังสือปรัชญาว่าปราชญ์ที่ดีย่อมไม่อ้างตำรา
อ่ะไรประมาณเนี้ยคับ

[Platootod]

เล่มทฤษฏีจำนวนนะคับลืมบอกไป

[Ne[S]zA]

สมบัติของ congruence หน้า 129-130 ใช่เปล่าครับ
แล้วคำตอบของคุณ Platootod คืออะไรครับ?

[[SIL]]

ดูจากวิธีทำและลองใช้เครื่องคิดเลขแล้ว คุณเนสถูกนะครับ แต่ไม่ทราบว่าก่อนจะเป็นบรรทัดแรกนั้นมาได้อย่างไร(ยากตรงนี้แหละ ครับ)

[mercedesbenz]

บรรทัดแรกมาจาก ทฤษฎีบทของแฟร์มา กล่าวว่า $2^{\phi (p)}\equiv 1 mod~p$

[square1zoa]

Fermat little theorem
$(a,p)=1$ you can use na.
So in this case $a=2$

$\phi (p)=p-1$


Ps I used ipodtouch. Very difficult.

[square1zoa]

Find all $(x,y)\in Z$ such that
$$1000x+y=9xy$$


Ps. It's too easy.

[Platootod]

ผมผิดเองคับจำทฤษฏีสับสนไปหน่อย
ขอโทษที่ทำให้เข้าใจผิดคับ
โจทย์ข้อต่อไปนะคับ
1.จงแสดงว่า $2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 0(mod 7)$
$$2222^6\equiv 1(mod 7)$$
$$(2222^6)^{925}\equiv 1(mod 7)$$
$$2222^{5555}\equiv 2222^5(mod 7)$$
$$2222\equiv 3(mod 7)$$
$$3 \equiv -4(mod 7)$$
$$2222 \equiv -4(mod 7)$$,$(a\equiv b(mod n),b\equiv c(mod n) a\equiv c(mod n))$
$$2222^{5555}\equiv (-4)^5(mod 7)$$
$$5555^6\equiv 1(mod 7)$$
$$(5555^6)^{370}\equiv 1(mod 7)$$
$$5555^2222 \equiv 5555^2(mod 7)$$
$$5555 \equiv 4(mod 7)$$
$$5555^2 \equiv 4^2(mod 7)$$
$$5555^{2222}=4^2(mod 7)$$
$$2222^{5555}+5555^{2222} \equiv (-4)^5+4^2(mod 7)$$
$$ \equiv-1008(mod 7)$$
$$-1008 \equiv 0(mod 7)$$

[คusักคณิm]

http://answers.yahoo.com/question/in...1174657AAhl9AV

[Platootod]

จงหาเศษจากการหาร 16^{16}^{1}+16^{16}^{2}+16^{16}^{3}+.....16^{16}^{2551} ด้วย 13 โจทย์ตั๊กม้อครับปีนี้
ผมหาได้ 3 ครับช่วยดูด้วยครับผมคิดว่ามันน่าจะวนก็เลยเอาหกหารเหลือตัวท้ายอ่ะคับเท่ากับ 3 พอดี

[Ne[S]zA]

เพราะว่า $16 \equiv 1 \pmod{3} $ ดังนั้น $16^{16} \equiv 1 \pmod{3}$ ได้ว่า
$$16^{{16}^1} \equiv 1 \pmod{3} \_\_\_\_(1)$$
$$16^{{16}^2} \equiv 1 \pmod{3} \_\_\_\_(2)$$
$$16^{{16}^3} \equiv 1 \pmod{3} \_\_\_\_(3)$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$16^{{16}^{2551}} \equiv 1 \pmod{3} \_\_\_\_(2551)$$
$$(1)+(2)+(3)+...+(2551); 16^{{16}^1}+16^{{16}^2}+16^{{16}^3}+...+16^{{16}^{2551}} \equiv 2551 \pmod{3}$$
$$16^{{16}^1}+16^{{16}^2}+16^{{16}^3}+...+16^{{16}^{2551}} \equiv 1 \pmod{3}$$
ไม่รู้ว่าถูกไหมนะครับ ตรวจด้วยครับ