จัดรูปตรีโกณ 3 ข้อ

[ครูนะ]

1. กำหนด $\frac{1-cos40}{cos50} = a$

แล้ว จงหาค่าของ $sin102\times sin22 - sin168\times sin68$ เท่ากับเท่าไร

ก. $5a^{2} - 1$

ข. $\frac{1}{2\sqrt{1+a^{2}}}$

ค. $\frac{1 - 6a^{2} + a^{4}}{1 + 2a^{2} + a^{4}}$

ง. $(1 + \frac{1}{2\sqrt{1+a^{2}}})^{1/2}$


2. ถ้า $\frac{x}{cosA}$ = $\frac{y}{cosB}$

จงหาค่าของ (xtanA + ytanB)/ $\frac{tan(A + B)}{2}$


3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

(1). ถ้า A + B + C = 180 แล้ว sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

(2). $sinA + 2sin3A + sin5A = 4sin3A\times cos^{2} A$

ก. ข้อ (1) เท่านั้นถูกต้อง

ข. ข้อ (2) เท่านั้นถูกต้อง

ค. ถูกทั้งข้อ (1) และข้อ (2)

ง. ผิดทั้งข้อ (1) และข้อ (2)

รบกวนช่วยผมด้วยครับ ติดอยู่สามข้อจริงๆ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

1. กำหนด $\frac{1-cos40}{cos50} = a$

แล้ว จงหาค่าของ sin102 sin22 - sin168 sin68 เท่ากับเท่าไร

ก. $5a^{2} - 1$

ข. $\frac{1}{2\sqrt{1+a^{2}}}$

ค. $\frac{1 - 6a^{2} + a^{4}}{1 + 2a^{2} + a^{4}}$

ง. $(1 + \frac{1}{2\sqrt{1+a^{2}}})^{1/2}$

sin102 sin22 - sin168 sin68 = sin(22-12) = sin 10 = cos 80

และจากสูตร tan (A/2) = (1 - cos A)/sin A

ดังนั้นจากโจทย์จะได้ a = tan 20

ก็หมดปัญหาแล้วครับ วิ่งจากมุม 80 ไป 20 ผ่านสูตร cos 2A

$cos 80 = \frac{1-tan^240}{1+tan^240}$

แปลงมุม 40 เป็น 20 อีกที ก็จะได้ ค.

$cos 80 = \frac{1-tan^240}{1+tan^240} = \frac{1-(\frac{2a}{1-a^2})^2}{1+(\frac{2a}{1-a^2})^2}$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

2. ถ้า $\frac{x}{cosA}$ = $\frac{y}{cosB}$

จงหาค่าของ (xtanA + ytanB)/ $tan\frac{(A + B)}{2}$

ข้อนี้มุมของ tan ในโจทย์ต้องเป็น tan[(A+B)/2] ถึงจะออกมาได้นะครับ

จากเงื่อนไขที่ให้จะได้ x = (cos A / cos B)y เอาไปแทนค่าที่ x

(x/y = cos A / cos B เก็บเอาไว้)

จากนั้นจัดรูปโจทย์เปลี่ยนเป็น sin กับ cos ใ้้ห้หมด

แล้วดึงตัวร่วมออกมา จะได้

$\frac{\frac{y}{cos B}(sin A + sin B)cos\frac{A+B}{2}}{sin\frac{A+B}{2}}$

จากนั้น sin A + sin B ก็ใช้สูตรปกติ แล้วตัดกัน สุดท้ายได้

$\frac{y}{cos B}(cos A + cos B)$

แล้วก็ยัด cos B กลับเข้าไป จากนั้นก็แทน cos A / cos B = x/y อีกที ก็จะได้เป็น y(x/y + 1) = x + y

[ครูหนุ่ม]

sin3A+2sin3A+sin5A=(sinA+sin5A)+2sin3A
=2sin3Acos2A+2sin3A
=2sin3A(cos2A+1)
=2sin3A(2cos^2(A)-1+1)
=4sin3A.cos^A

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

(1). ถ้า A + B + C = 180 แล้ว sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

(2). $sinA + 2sin3A + sin5A = 4sin3A\times cos^{2} A$

1) (sin 2A + sin 2B) + sin 2C = 2sin(A+B)cos(A-B) + sin 2C

= 2sin C cos(A - B) + 2sin C cos C

= 2sin C[cos A cos B + sin A sin B - (cos A cos B - sin A sin B)]

= 4sin A sin B sin C

2. (sin A + sin 5A) + 2sin 3A = 2sin 3A cos 2A + 2sin 3A

= $2sin 3A(2cos^2A - 1+ 1)$

= $2sin 3A cos^2A$

[PoSh]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

sin102 sin22 - sin168 sin68 = sin(22-12) = sin 10 = cos 80

และจากสูตร tan (A/2) = (1 - cos A)/sin A

ดังนั้นจากโจทย์จะได้ a = tan 20

ก็หมดปัญหาแล้วครับ วิ่งจากมุม 80 ไป 20 ผ่านสูตร cos 2A

$cos 80 = \frac{1-tan^240}{1+tan^240}$

แปลงมุม 40 เป็น 20 อีกที ก็จะได้ ค.

$cos 80 = \frac{1-tan^240}{1+tan^240} = \frac{1-(\frac{2a}{1-a^2})^2}{1+(\frac{2a}{1-a^2})^2}$

ผมอยากเห็นการพิสูจน์สูตรนี้อ่ะครับ พอดีพิสูจน์ไม่ได้ตรง

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoSh

ผมอยากเห็นการพิสูจน์สูตรนี้อ่ะครับ พอดีพิสูจน์ไม่ได้ตรง

tan (A/2) = sin(A - A/2)/cos (A/2) = [sin(A)cos(A/2) - cos(A)sin(A/2)] / cos(A/2)

เอา cos(A/2) แยกหาร จะได้

tan(A/2) = sin(A) - cos(A) tan(A/2)

tan(A/2) + cos(A) tan(A/2) = sin(A)

ดึงตัวร่วมแล้วหารจะได้

tan(A/2) = (sin A)/(1 + cos A)

จากนั้นตรงนี้อาจจะทำต่อได้ 2 วิธี ครับ

วิธีแรกคือ คูณทั้งเศษและส่วนของ (sin A)/(1 + cos A) ด้วย 1 - cos A

หรือวิธีที่สองซึ่งเป็นวิธีเดีัยวกัน แต่คนละมุมมอง

จากเอกลักษณ์ $sin^2A = 1 - cos^2 A $

จะได้ (sin A)(sin A) = (1 - cos A)(1 + cos A)

ย้ายข้างสลับกัน ก็จะได้ตามที่ต้องการ

[PoSh]

กระจ่างเลยครับ ขอบพระคุณเป็นอย่างสูงที่เอาความไม่รู้เรื่องของผมออกได้

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ

[bell18]

เยี่ยมมากครับ คุณ 5 ดาว (3+2 = 5 ดวง)
โดยเฉพาะการพิสูจน์ tan(A/2) นั้นสุดยอดจริงๆ