integral จำกัดเขตข้อนี้ทำไงครับ

[xlover13]

โจทย์คือ integral ตั้งแต่ 0 ถึง pi
ของ (x sinx)/(1 + (cosx)^2)
-------------
อยากได้สองวิธีคือ
1) หา integral ไม่จำกัดเขตก่อน
2) จัดรูปให้เหมาะสมแล้วตอบได้เลย
(เห็นเค้าบอกว่าทำได้ 2 วิธี)
ช่วยหน่อยนะครับ อ่านมาถึงเรื่องนี้แล้วทำไม่
ได้ เลยไม่กล้าอ่านต่อ

[Meijin]

xlover13 เรียนชั้นไหนครับ

[xlover13]

ผมจบ ม.6 แล้วครับคุณ Meijin กำลังรอผล
Ent อยู่ ตอนนี้ลองอ่าน cal ล่วงหน้าดู
ก็เลยเจอปัญหาอย่างที่ว่านี่แหละครับ
เอ.. ผมว่าผมเจอคุณใน dek-d.com รึเปล่าครับ
(เอาเป็นว่าใครตอบได้ช่วยผมด้วย ผมอยากรู้
วิธีทำมาก ๆ เลยครับ)

[gon]

ข้อนี้ ไม่รู้ว่าพี่ค่อนข้างจะเซ่อกว่าที่น้องแนะมาใน ข้อ 2. ว่าจัดได้ง่าย ๆ แล้วตอบเลยรึเปล่า
ตอบ 4pi / 3 (ตัวเลขที่แทนอาจคำนวณผิดได้ แต่วิธีการคิดว่าไม่ผิด)
ลองมาดูวิธีที่พี่คิดนะครับ.

หลักการข้อนี้ คือ ใช้ by part ล้วน ๆ
แต่ที่นี้วิธีการ by part ที่ว่า คือ integrate( u dv ) = uv - integrate( v du ) นั้น
เราต้องทำการอินทิเกรต 2 อย่างที่ว่าต่อไปนี้ให้แม่นยำก่อน คือ
1. integrate(cos3x) = (1/3) sin3x + C เป็นต้น
2. integrate (x sinx) dx = sinx - x cosx + C ( โดย by part เลือก u = x และ dv = x sinx dx ) เป็นต้น

จะได้ตามโจทย์ว่า (x sinx)/(1 + (cosx)^2) dx
เลือก u = 1 + (cos x )^2 และ dv = x sinx dx
จะได้ว่ามันคือ [1+ (cos x )^2 ] [ sin x - x cosx ] - integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ] ...(1)

พิจารณาตัวหลัง คือ integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ]
กระจายออกมาเป็น 2 พจน์ คือ
พจน์ที่ 1 . integrate [ 2 (sin x) ^2 cos x dx ]
พจน์ที่ 2. integrate [ 2 x sin x (cos x)^2 dx ]

พนจ์ที่ 1 จะได้ผลลัพธ์ คือ (1/2) [ sin x - (1/3) sin 3x ] ....(2)
พจน์ที่ 2. by part โดยเลือก u = 2x และ dv = sin x (cos x )^2 dx
จะได้ผลลัพธ์ คือ (-x/2)[cos x + (1/3) cos 3x ] - (1/2) [ sin x + (1/9) sin 3x ] ....(3)

สุดท้ายแทนค่าต่าง ๆ จาก (2) และ (3) ลงไปใน (1) จะได้ ที่ต้องการ
แล้วแทนค่า x = 0 ถึง pi
ซึ่งจะได้เป็น 4pi/3 - 0 = 4pi / 3

note. ในแต่ละขั้นอาจต้องทำการ integrate โดย bypart อีกที โดยเฉพาะพวกที่มี x คูณอยู่
ให้เลือก u = x หรือ 2x เป็นต้น เสมอ.
โจทย์ข้อนี้ตามความคิดของพี่ ผู้ที่เริ่มศึกษายังไม่ควรจะทำนะ
เพราะอาจปวดหัวมากไปหน่อย. แต่อย่างที่น้องแนะมาในข้อ 2.
อาจมีวิธีที่ฉลาดกว่านี้ 10 เท่า ก็ได้ครับ.

[xlover13]

พี่กรครับ ขอบคุณมากที่แสดงให้ดู
คำตอบในหนังสือที่ผมดูเค้าบอกว่าตอบ
(pi^2)/4 น่ะครับ
งั้นผมถามอีกข้อได้มั้ยครับ
---------------------
อินทิเกรต (x^2 - 2x + 4)^(-3/2) ตั้งแต่
1 ถึง 2
*** เห็นที่เค้าแนะนำคือ ให้
x-1 = sqrt(3)*tan u
**** ที่จะถามพี่ก็คือ มีวิธีง่ายกว่านี้
มั้ยครับ เพราะอยู่ ๆ ผมก็คงคิดไม่ออกหรอกว่า
ต้องให้อันนู้นเท่ากับอันนี้ ใครจะไปคิดถึง
ล่ะครับว่าต้องให้เท่ากับ sqrt(3)* tan u
มันเหนือจินตนาการมากเลย คิดไม่ออกครับ
ขอบคุณครับพี่

[xlover13]

อ้อ! พี่กรครับ ข้อที่ผมถามไว้ครั้งแรก
น่ะ มันหารกันนะครับ ที่พี่ทำรู้สึกว่ามัน
จะคูณกัน
----- ขอบคุณครับ

อืม. ดูผิดไปจริง ๆ ครับ. โจทย์มันหารกันนี่นะ
เดี๋ยวว่าง ๆ จะลองทำดูอีกที แต่พี่ว่ามันก็คงไม่ทำเสร็จกันในอึดใจหรอก
คงไม่ต่ำกว่าหน้านึงน่ะล่ะนะ

การเปลี่ยนตัวแปรตรีโกณมันมี 3 รูปแบบ ครับ คือ sin , sec , tan
แต่พี่จะบอกแค่ 2 รูปแบบ พอ เพราะถ้าน้องดูเข้าใจได้มันก็ไม่ต้องจำ
คือลองมั่ว ๆ ดู แล้วเขียนสามเหลี่ยมมุมฉาก ว่าได้ค่าด้านที่เรามีอยู่ออกมาจริงใหม.
1.รูป a^2 + b^2 x^2 อย่างนี้เราจะสมมติให้ ax = b tan z
2.รูป a^2 - b^2 x^2 อย่างนี้เราจะสมมติให้ ax = b sec z
ส่วน sin นั้นมันจะสลับกับ sec ลองคิดดูละกัน

ตัวอย่าง.
integrate(dx / 9 + 16x^2 ) ..........................#
1.ให้ 4x = 3 tan z
ดังนั้น tan z = 4x / 3 แล้ววาดสามเกลี่ยมมุมฉากขึ้นมา ใส่ทุกด้านให้ครบ
2. จากโจทย์ สังเกตว่าเราจะแบ่งค่าออกเป็น 2 ชุด ที่จะเปลี่ยน คือ
dx กับ 9 + 16x^2
3. จากข้อ 1. diff ซะ จะได้ dx = (3/4) (sec^2 z) dz ............(3.1)
จากสามเหลี่ยมมุมฉากในข้อ 2. เราจะพบว่า sqrt [ (9 + 16x^2 ) ] / 3 = sec z
ดังนั้น 9 + 16x^2 = 9 sec^2 z .............(3.2)
4. แทน (3.1) , (3.2) ลงใน # จะได้ว่า
integrate(dx / 9 + 16x^2 ) = (3/4)(sec^2 z dz) / 9 sec^2 z
= (1/12) dz ...............(4)
ดังนั้นเราต้องทำการ integrate (1/12) dz ซึ่งได้ (1/12) z + C
แต่ ข้อ 1. 4x = 3 tan z ดังนั้น z = arctan(4x/3)
ซึ่งแทนค่าลงไปจะได้ (1/12) arctan (4x/3) + C ครับ.

อย่างข้อที่น้องว่ามา ก็แค่จัดรูป เป็น + sqrt(3)]^2+ (x-1)^2
จึงสมมติให้ x - 1 = [sqrt(3)] tan z ไงครับ.

น้องอ่านหนังสือ ควรเลือกที่มันเขียนง่าย ๆ ก่อนซิครับ.
มันมีอยู่เล่มนึง ออกมานานแล้ว พี่อ่านตอนอยู่ ม.ปลายรู้เรื่องทีเดียว
พี่เลย diff + integrtate พวกแคลทุกรูบแบบเป็นแต่ ม. ปลาย มาเรียนแคล I ที่
จุฬานี่แทบไม่อ่านเพิ่มเลย
เขียนได้ง่าย ๆ มาก ๆ เลย คือ เน้นทำได้ก่อน จริง ๆ เขาเลิกพิมพ์ขายไปนานแล้ว
แต่หลายวันก่อนพี่เห็นตามร้านหนังสือที่ไหนซักแห่งนี่ล่ะแถว ๆ จุฬา นี่ล่ะ
หน้าปกมันจะเป็นรูปกราฟ 3 มิติ แบบตาข่าย ถ้าจำไม่ผิดนะ
ปกออกสีเหลืองปนเขียว แต่ที่เห็นอันใหม่รู้สึกจะเป็นออกสีฟ้าอ่อนนะครับ

[xlover13]

แคลปีหนึ่งเรียนเกี่ยวกับอะไรบ้างครับ
ที่พี่เคยบอกในกระทู้ก่อน ๆ คือ
diff กับ integrate แล้วมีอย่างอื่นอีก
มั้ยครับ แล้วมันจะถึงเรื่องอนุพันธ์ย่อย
เวกเตอร์กับอินทิเกรตหลายชั้นมั้ยครับ
ถ้าเป็นไปได้อยากรู้ว่าปีไหน cal เรียน
อะไร เพราะผมได้เข้าไปที่ web ของวิศวะจุฬา
ผมไม่เจอรหัสวิชาที่เป็น cal เลยครับ
--------
ที่พี่บอกมาเรื่อง sin sec tan ผมพอจะเข้า
ใจแล้วล่ะครับ เมื่อกี้ลองไปทำโจทย์ข้อแนว
นี้ดูก็ทำได้แล้วล่ะครับ ขอบคุณมากครับ
ดีใจมากครับที่มีคนทำ web ดี ๆ แบบนี้ ช่วย
เหลือเด็กธรรมดา ๆ อย่างผมได้เสมอ

[gon]

อืม. มันก็มีหลายเรื่องนะครับ.
ไม่ใช่แค่ diff กับ อินทิเกรตอย่างเดียวหรอก
รายละเอียดลึก ๆพี่จำไม่ได้ครับ.
แต่ diff กับ อินทิเกรตทุกรูปแบบมันต้องแม่นก่อน.
น้องเอาให้แม่นเปรี๊ยะไปเลยครับ. จะได้ฉลุย
เพราะเดี๋ยวจะไปเรียนเรื่องอื่นต่อไม่ได้
แน่นอนว่าเรื่อง partial diff หรือ อินทิเกรตหลายชั้น
มันมีอยู่แน่ ๆ เพียงแต่พี่จำไม่ได้ว่ามันอยู่แคลไหนครับ
น้องไปต้องไปแคร์ว่าอะไรเรียนปีไหนหรอกครับ.
แป๊บเดียวเดี๋ยวก็ได้เรียน ไม่ต้องกลัวลืมหรอก
อ่านมันเยอะ ๆ รับรู้ให้มากที่สุดเท่าที่น้องจะรับรู้ได้ล่ะครับ.
เพราะตอนเรียนจริง ๆ มันเร็วกว่า มัธยม 3 - 4 เท่าเชียวนะครับ.
อ่านกันแทบไม่ทัน ทั้งที่เวลาว่างก็เยอะ เรียนก็แค่เทอมละ 7 - 8 ตัวเอง
แต่จะให้ชัวร์ก็ไปดูหนังสือแคลของคณะวิทยาศาสตร์
ที่ศูนย์หนังสือจุฬา ซิครับ.
พวกแคลตอนนี้พี่ไม่ค่อยได้แตะครับ.
จะเน้นไปทาง discrete math อยู่
เพราะรู้สึกว่ามันหนุกกว่าพวกแคลเยอะเลย.
มีเรื่องอ่านแล้วปวดหัวไม่เข้าใจง่าย ๆ เยอะเลย
ไม่เหมือนแคลที่อ่านเมื่อไรก็เข้าใจทันทีเมื่อนั้น

[xlover13]

discrete คืออะไรเหรอครับ แล้วมันสนุกยังไงครับ

[gon]

1. ให้ u = x และ dv = (sinx) / ( 1 + cos^x) dx
du = dx และ v = integrate( sin x / ( 1 + cos^x) d (cosx) / -sinx
= -arctan( cos x )
2. โดย By part จะได้
โจทย์ = -x arctanx + integrate( arctan (cosx) dx ) *******
3. ทีนี้มาพิจารณา function
y = arctan x
เรายังคงจำกันได้ว่า ฟังก์ชันคู่ คือ f(-x) = f(x)
ฟังก์ชันคี่ คือ f(-x) = - f(x)
จะพบว่า f(x) = acrtan x
f(-x) = arctan(-x) = - arctan x
จึงเป็น ฟังก์ชัน คี่
4. ในแง่ของการอินทิเกรต เราจะนิยามว่า
f(x) เป็นฟังก์ชันคู่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ =
2 integrate จำกัดเขตตั้งแต่ 0 ถึง a ของ f(x) dx
f(x) เป็นฟังก์ชันคี่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ = 0
5. จากโจทย์ เมื่อ เรา อินทิเกรตจาก x = 0 ถึง pi
จะได้ว่า cos x มีค่า ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นเอง
ดังนั้น integrate( arctan (cosx) dx ) จึงมีค่า = 0 นั่นเอง
6. แทนค่า ลงในข้อ 2. จึงได้ = [ - ( pi)(-pi/4) ] - [ 0 ] = pi^2 / 4 ......Ans

[gon]

discrete math
ก็ คือ คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง
เช่น Number Theory, Combinatoric , Graph Theory เป็นต้น.
สนุกยังไง หรือ ครับ.
มันมีปัญหาให้ปวดหัวเยอะดีครับ.
จะเอาซักหลาย ๆ เรื่องใหมล่ะครับ
สนุกว่า แคลหรือพวกอื่น ๆ เยอะเลย

[alpha]

แต่ผมว่า แคล สนุกสุดแล้วนะ ตั้งแต่อ่านของมหาลัยที่ห้องสมุดโรงเรียนมีให้อ่าน(ขณะนี้ม.4) แคลนี่แหละ รู้เรื่องมากที่สุด

Int[x = 0 -> x = Pi, x sin x / (1+cos²x)] แยกช่วงเป็น 0 -> Pi/2 และ Pi/2 -> Pi
จากคุณสมบัติของ sin x และ cos x สิ่งที่ต้องการจะเท่ากับ

Int[x = 0 -> x = Pi/2, x sin x / (1+cos²x)] + Int[x = 0 -> x = Pi/2, (Pi - x) sin x / (1+cos²x)]
= Int[x = 0 -> x = Pi/2, Pi sin x / (1+cos²x)]
= Pi²/4

[mathcenter]

นั่นไงมาแล้ววิธีทำ
มันต้องอย่างนี้ซิครับ
ค่อยสมเป็นเว็บ Math หน่อย.
ทบ. ไม่มีปัญหาคณิตศาสตร์ใดที่ไม่ได้รับการแก้ที่บอร์ดแห่งนี้
(ถ้าเป็นปัญหาที่มีผู้แก้ออกแล้ว)

เออ.ใช่ พี่ก็อ่านแคลประมาณ.
ม.4 มั้ง ก็เพราะมันง่ายกว่าเรื่องอื่น ๆ ไง
อ่านแล้วรู้เรื่อง
ว่าแต่ลงลึกไปจริง ๆ ก็ยากนะ