ข้อสอบกมลาไสย

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

1.ให้ u v เป็นเวกเตอร์ และ $ \theta $ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v
ถ้า u+v ตั้งฉากกับ u-v และ u+2v ตั้งฉากกับ 2u-v และ ขนาดของ $u =\sqrt{2} $
แล้ว cos$ \theta $ มีค่าเท่าใด

2.z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อยู่ใน $Q_1$ บนระนาบเชิงซ้อนมี lzl$^2=5$ และส่วนจินตภาพเท่ากับ 1
อินเวอร์สการคูณของ z คือค่าใด

3.จงหาผลบวกคำตอบของสมการ
$arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan\frac{8}{31} $

4.ถ้า $cosA=\frac{3}{4} $ แล้ว $sin\frac{A}{2}sin\frac{5A}{2} $มีค่าเท่าใด

5.$ln(log_32)+ln(log_43)+ln(log_54)+...+ln(log_nn-1)=(10^{-log2})(ln36)$
แล้วค่า n เท่ากับเท่าใด

[artty60]

ข้อ4.ถ้า $cosA=\frac{3}{4}$ แล้ว $sin\frac{A}{2}sin\frac{5A}{2}$มีค่าเท่าใด

$sin\frac{A}{2}sin\frac{5A}{2}=\frac{1}{2}(cos2A-cos3A)$

$cos2A=2cos^2A-1$ และ $cos3A=4cos^3A-3cosA$

$sin\frac{A}{2}sin\frac{5A}{2}=\frac{1}{2}[(2cos^2A-1)-(4cos^3A-3cosA)]$

$=-\frac{1}{2}(1-3cosA-2cos^2A+4cos^3A)$

$=(-\frac{1}{2})(-\frac{11}{16})=\frac{11}{32}$


ปล.ไม่แน่ใจว่าคิดเลขผิดรึเปล่า

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

3.จงหาผลบวกคำตอบของสมการ
$arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan\frac{8}{31} $

ให้ $arctan(x+1)=A,arctan(x-1)=B$ โดยที่ $A,B$ เป็นมุมที่มีหน่วยเป็นองศา
$A+B=arctan\frac{8}{31}$

$\tan(A+B)=\tan(arctan\frac{8}{31})$

$\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}= \frac{8}{31}$

$\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)}=\frac{8}{31} $

$\frac{2x}{2-x^2}=\frac{8}{31} $

$31x=4(2-x^2) \rightarrow 4x^2+31x-8=0\rightarrow (4x-1)(x+8)=0$

$x=-8,\frac{1}{4} $.....เช็คโดเมนของฟังก์ชั่น $\arctan$ ซึ่งเป็นจำนวนจริง จึงใช้ได้ทั้งสองค่า

จริงๆตอบได้เลยจาก Vieta's Formulae ว่าผลบวกของคำตอบสมการคือ $- \frac{31}{4}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

5.$ln(log_32)+ln(log_43)+ln(log_54)+...+ln(log_nn-1)=(10^{-log2})(ln36)$
แล้วค่า n เท่ากับเท่าใด

$\ln \left(\,(log_32)(log_43)(log_54)...(log_nn-1)\right)=(10^{-log2})(ln36) $

$(log_32)(log_43)(log_54)...(log_nn-1)=36^{10^{-log2}}$

$n-1=2^{36^{10^{-log2}}}$

$10^{-log2}=10^{log2^{-1}}=\frac{1}{2} $

$n-1=2^6=64\rightarrow n=65$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ให้ $arctan(x+1)=A,arctan(x-1)=B$ โดยที่ $A,B$ เป็นมุมที่มีหน่วยเป็นองศา
$A+B=arctan\frac{8}{31}$

$\tan(A+B)=\tan(arctan\frac{8}{31})$

$\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}= \frac{8}{31}$

$\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)}=\frac{8}{31} $

$\frac{2x}{2-x^2}=\frac{8}{31} $

$31x=4(2-x^2) \rightarrow 4x^2+31x-8=0\rightarrow (4x-1)(x+8)=0$

$x=-8,\frac{1}{4} $.....เช็คโดเมนของฟังก์ชั่น $\arctan$ ซึ่งเป็นจำนวนจริง จึงใช้ได้ทั้งสองค่า

จริงๆตอบได้เลยจาก Vieta's Formulae ว่าผลบวกของคำตอบสมการคือ $- \frac{31}{4}$

โดเมนของ arctan คือ $(-\pi /2,\pi /2)$
เมื่อแทน ค่าx=-8
ให้
$arctan(-7)=\theta $
$arctan(-9)=\alpha $
$arctan(\frac{8}{31} ) =\varepsilon $

วาดได้ดังกราฟ
จะเห็นว่า $\theta +\alpha\not= \varepsilon $
จึงใช้ -8 ไม่ได้

ช่วยดูให้ด้วยครับ

[กิตติ]

เรากำลังพูดถึงฟังก์ชั่น $y=\tan^{-1}x$ หรือ $y=\arctan x$
ดังนั้นโดเมนจ์สำหรับฟังก์ชั่นนี้คือ จำนวนจริง
แต่เห็นด้วยว่า คำตอบเหลือแค่ $x=\frac{1}{4} $
จาก $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$
$arctan(-7)=-\tan^{-1}7 $
$arctan(-9)=-\tan^{-1}9 $
$arctan(-7)+arctan(-9)=-(\tan^{-1}7+\tan^{-1}9)$ ซึ่งมีค่าเป็นลบ
แต่ $\arctan\frac{8}{31} $ มีค่าเป็นบวก
ดังนั้นที่ $x=-8$ แล้ว $arctan(x+1)+arctan(x-1) \not= \arctan\frac{8}{31} $