|
|
#407
31 พฤษภาคม 2012, 19:31
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
Vouloir c'est pouvoir 
|
|
#408
01 มิถุนายน 2012, 20:09
|
|||
|
|||
|
ไม่เป็นไรพิมพ์ก็ได้ครับ
$M$ เป็นจุดสัมผัสของ Incircle ที่ $AC$ แล้วให้ $MI \cap A_2A_1 = N$ ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $\dfrac{IN}{IA'}=\dfrac{NM}{MA_2}$ เราก็จะได้ $A'I // AC$ สมมุติให้มันเท่ากัน $ \tan A = \dfrac{2 \tan \frac{A}{2}}{1-\ tan^2 \frac{A}{2}}=\dfrac{a}{c}$ แล้วหา $\tan \frac{A}{2} = \dfrac{b-a}{c}$ $\tan \frac{A}{2} = \dfrac{MN}{MA_2}$ แล้วคราวนี้เราก็หา $IN$ ได้แล้วเอาไปแทนค่า สิ่งที่เราให้มันเท่ากัน โดยใช้ $a^2+c^2=b^2$ เราก็จะได้มันเท่ากันจริงๆ ในทำนองเดียวกัน $C'I // AC $ เพราะฉะนั้น $A' , C' , I$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะได้ $A'C' // AC$ #
|
|
#409
02 มิถุนายน 2012, 03:05
|
|||
|
|||
|
Another way :
ลาก IC และสังเกตว่า สามเหลี่ยม $ A_1CA_2$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น พิสูจนได้ไม่ยากว่า $A_1A' // IC$ และเพราะ $A_1C = s-b = r $ ดังนั้น $ IA' = A_1C$ ทำให้ $IA'A_1C$ เป็นคางหมูหน้าจั่ว แสดงว่า $ IA' // AC $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#410
02 มิถุนายน 2012, 13:47
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
 ขอเกี่ยวกับการใช้เรื่อง Hamornic Division หน่อยครับ หรือ Homothety ได้ไหมครับ( เอาไม่ต้องยากมากนะครับ  )
|
|
#411
03 มิถุนายน 2012, 11:07
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
กำหนด M เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ABC ถ้า P,Q,R,T,G เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม MBC, MAC, MAB, PQR, ABC ตามลำดับ พิสูจน์ M,T,G collinear
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#413
06 มิถุนายน 2012, 20:04
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ส่วน number หมายถึงข้อ Q 11 ใช่มั้ยครับ ลองมอง $ (5n)! = (5^n)(n!)\prod_{k=0}^{n-1} (5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)$ แล้วหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(5n) กับ f(n) ใน mod 5 ดูครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 06 มิถุนายน 2012 20:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
|
|
#414
06 มิถุนายน 2012, 21:22
|
|||
|
|||
|
เอ้ย ผมดูไม่ได้ดีเองครับ ส่วนข้อเรขาใหม่นั้น
ผมว่า... ปานกลางของคุณ passer-by มันน่าจะยากกว่าโอลิมปิคระดับชาติอีกมั้งครับเนี่ย (สำหรับผม) 06 มิถุนายน 2012 21:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th
|
|
#416
07 มิถุนายน 2012, 19:49
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
กลับไปที่คำถามนะครับ ข้อนี้เป็น pure homothety ครับ สาเหตุที่ผมเลือกข้อนี้เพราะได้เห็นการใช้งาน homothety ชัดกว่าโจทย์หลายๆข้อที่มักอ้าง homothety (แต่อาจทำวิธีอื่นได้) ลองสังเกตดูว่า จาก M ถ้าลาก MP, MQ , MR มันจะไปแบ่งครึ่งด้านสามเหลี่ยม ABC พอดี สมมติแบ่งครึ่งที่ $A' , B', C'$ พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า M เป็น center of homothety ที่ส่ง สามเหลี่ยม PQR ไปยังสามเหลี่ยม A'B'C' แล้วลอง link ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยม A'B'C' กับสามเหลี่ยม ABC ดูนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#417
08 มิถุนายน 2012, 21:58
|
|||
|
|||
|
อ้อ !!!! ลองเช็คหน่อยนะครับ (สนุกมากๆ)
ลองต่อ $MP,MR,MQ$ ไปชน $BC,CA,AB$ ที่ $A',B',C'$ ตามลำดับ จาก $M$ เป็น center of homothety ซึ่งส่งจาก $\Delta ABC$ ไป $\Delta A'B'C'$ โดยมีอัตราส่วนเป็น $2$ ให้ $A_1,A_2$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $QR$ และ $B'C'$ ตามลำดับ นิยาม $B_1,B_2$ และ $C_1,C_2$ ในลักษณะเดียวกัน ถ้าลาก $AA',BB',CC'$ จะได้ว่าจุด centriod ของ $\Delta ABC$ กับ $\Delta A'B'C'$ เป็นจุดเดียวกัน ลองพิจารณา $\Delta MA_2A'$ กับ $\Delta MPA_1$ แล้วพิจารณา ถ้าลาก $MA_1$ ต้องผ่านจุด $A_2$ ด้วย (เพราะ M เป็น center of homothety) $T$ เป็นจุดบน $PA_1$ โดย $PT:TA_1 = 2:1$ และต่อ $AT$ ตัดกับ $A'A_2$ ที่ $Y$ แล้วพิสูจน์ว่า $G=Y$ $\dfrac{PT}{YA'}= \dfrac{MP}{MA'} = \dfrac{MA_1}{MA_2} = \dfrac{TA_1}{YA_2} $ จะได้ $A'Y : YA_2 = 2:1$ เพราะ ฉะนั้น $G=Y$ และถ้าลาก $QT$ ไปตัด $PR$ จะได้ว่ามันแบ่งครึ่ง PR (โดย Meneluas) เพราะฉะนั้น T เป็นจุด centroid แน่นอน ในทำนองเดียวกับจุด G เพราะฉะนั้น $M,T,G$ collinear 09 มิถุนายน 2012 14:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th
|
|
#419
09 มิถุนายน 2012, 18:06
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
จริงๆ เพิ่ม 2 บรรทัดนี้ ต่อท้าย prove homothety อัตราส่วน 2:1 ก็พอแล้วครับ เพราะ center of homothety collinear กับ centroid ของสามเหลี่ยม PQR, A'B'C' อยู่แล้ว ด้วย homothetic property ---------------------------------------------------------------------------------- ข้อต่อไปมาจาก USA ครับ สามเหลี่ยม ABC มี M,N อยู่บน AC, BC ตามลำดับ โดย MN ขนานกับ AB และ P, Q อยู่บน AB,BC ตามลำดับ โดย PQ ขนานกับ AC ให้ incircle ของสามเหลี่ยม CMN สัมผัส AC ที่ E และ incircle ของสามเหลี่ยม BPQ สัมผัส AB ที่ F , EN ตัด AB ที่ R และ FQ ตัด AC ที่ S , AE= AF พิสูจน์ incenter สามเหลี่ยม AEF อยู่บน incircle สามเหลี่ยม ARS
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
  |
|
|
