สมการพหุนาม

[นกกะเต็นปักหลัก]

1.จงหาพหุนาม p(x) และ q(x) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่ง
$\frac{p(x)}{q(x)}-\frac{p(x+1)}{q(x+1)}=\frac{1}{x(x+2)}$
สำหรับทุกจำนวนจริง x
2. ให้ $f(x)=x^4-x^3+8ax^2-ax+a^2$ จงหาจำนวนจริง a ทั้งหมดซึ่งทำใหัสมการ f(x)=0
มีรากเป็นจำนวนจริงบวกต่างกัน 4 ตัว

[SixGoldsForThailand]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

1.จงหาพหุนาม p(x) และ q(x) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่ง
$\frac{p(x)}{q(x)}-\frac{p(x+1)}{q(x+1)}=\frac{1}{x(x+2)}$
สำหรับทุกจำนวนจริง x

It is not hard to find a pair of $(p(x),q(x)) \in \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x]$ such that
\[
\frac{p(x)}{q(x)}-\frac{p(x+1)}{q(x+1)}=\frac{1}{x(x+2)}
\]
Once one observes that
\[
\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x+2)} = \big( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2(x+1)}\big) - \big( \frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+2)}\big)
\]
it becomes clear that $(P,Q) = (2x+1,2x^2+2x)$ is a good example.

It is more interesting to determine all the pairs $(P,Q)$ which satisfy the identity. In fact, this is not very hard either. The following lemma will be useful, and is a good exercise in Algebra.

Note that $P(x)/Q(x)$ above is often called a "rational" function. The set of all rational functions $P(x)/Q(x)$ with coefficients in $\mathbb{R}$ is denoted $\mathbb{R}(x)$. (Note the curly parentheses instead of edgy brackets.)

Lemma: Suppose that two rational functions $\phi, \phi' \in \mathbb{R}(x)$ satisfy
\[
\phi(x) -\phi(x+1) = \phi'(x) - \phi'(x+1), \forall x \in \mathbb{R}
\]
Then, $\phi(x) = \phi'(x) +c$ for some constant $c \in \mathbb{R}$.

Having the lemma above, we can then classify all such pairs $(P,Q)$.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

2. ให้ $f(x)=x^4-x^3+8ax^2-ax+a^2$ จงหาจำนวนจริง a ทั้งหมดซึ่งทำใหัสมการ f(x)=0
มีรากเป็นจำนวนจริงบวกต่างกัน 4 ตัว

This is a routine exercise in Discriminant Theory with a tinge of Descartes' Rule of Signs. Please see "Nature of Roots" on Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic...e_of_the_roots

First of all, $a$ must be positive to rule out all the non-positive roots. Then, we require $\Delta>0, P<0, D<0$ to make sure that $f$ has all four distinct positive real roots. On the other hand, if $f$ has all four positive real roots, then $a>0, \Delta >0, P<0, D<0$. Hence, the condition is necessary and sufficient. Plugging the coefficients in, we will obtain the necessary and sufficient condition on $a$.

Please ask me if any of above is unclear, or you need further explanation or even illustration! I will be more than pleased to help na krub.

[dreamddgift]

ผมงงข้อสอบสองอ่ะ ทำไง