ข้อสอบ สอวน.ค่าย2/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย

[Speedy Math]

ข้อสอบ สอวน.ค่าย2/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย

[Sirius]

รูปมันไม่ขึ้นครับ

[Speedy Math]

แก้แล้วครับ

[coke]

ขอบคุณคร้าบบบ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 พีชคณิต

ให้ $z=rcis \theta$ โดยที่ $0<\theta<2\pi$

จากโจทย์ที่บอกว่า $$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2}= 1+\frac{2}{z-1+\frac{1}{z}}\in \mathbb{R} $$

แสดงว่า $z-1+\frac{1}{z}$ ต้องเป็นจำนวนจริง $\therefore$ ส่วนจริงของ $z-1+\frac{1}{z}$

ต้องเท่ากับศูนย์ แทนค่า จะได้

$\frac{1}{r}\sin \theta=r\sin \theta \rightarrow \left|\,r\right| =1$

ข้อ 3 พีชคณิต

พิจารณารากของ $z^{11}-1=0$ ในรูปเชิงขั้ว เมื่อ $z$ ไม่เป็น 1 จากนั้นพิจารณาส่วนจริง

[Arsene Lupin]

Nt
1.เปิดในหนังสือสอวน ทบจำนวนครับ
2.chinese remainder
3.ออยเลอร์
4.crs wilson
5.mod 16,10

[Arsene Lupin]

Ge
1. 9point circle
2.symmedian thm.
3.law of sine
4. Reflection 3 times

[passer-by]

combinatorics (ข้อ 2)

จากหลักรังนกพิราบ ต้องมี $ \left\lceil\ \frac{52}{25}\right\rceil = 3$ squares เศษเท่ากันใน mod 25 ,say , $x^2 , y^2 , z^2 $

แต่ any squares congruent with 0,1 mod 4

ดังนั้น มี 2 squares เศษเท่ากันใน mod 100

--------------------------------------------------------------------------

(ข้อ 4) (ข้อนี้เป็นภาคต่อของ ramsey number R(3,3) =6 ขยายเป็น ramsey number R(3,3,3) = 17)

จากค่าความน่าจะเป็นที่กำหนด พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า มีเส้นสีน้ำเงิน (15)(17) เส้น

ดังนั้น จะมีบางจุด ,say, x ที่มีเส้นสีน้ำเงิน พุ่งออก $ \geq 17 $ เส้น (ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 1 blue edge ถูกนับ 2 ครั้งที่จุดปลาย)

ในบรรดา 17 จุดของ blue edges ที่เชื่อมกับ x จะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่ามี สามเหลี่ยมสีเดียวกันของ 1 ใน 3 สี (ซึ่งถ้าเป็นสีน้ำเงิน ก็จะเกิด clique ขนาด 4 ที่ต้องการ)

พิจารณา 1 ใน 17 จุดนี้ และเส้นเชื่อมจากจุดนี้ไปยัง 16 จุดที่เหลือ

จากหลักรังนกพิราบ จะมี $ \geq 6$ เส้นสีเดียวกัน ,say , สี A

ถ้ามี 2 ใน 6 จุดสี A Done ! ,มิฉะนั้น เส้นที่เชื่อมระหว่าง 6 จุดนี้ ใช้แค่สี B,C + อ้าง R(3,3) =6 ก็จบเช่นกันครับ

[polsk133]

คอมบิข้อ 3 กำหนดฟังก์ชันกันแบบไหนหรอครับ

ผมลองทำ $f(abcdef)=(9-b)(9-c)(9-a)fde $

จาก 9abcd0 เป็นตั๋วเฮง จะได้ $f(9abcd0)=ab00cd$ ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากว่าเป็นเลขของตั๋วฮา

ต่อไปพิสูจน์ 1-1 อันนี้ขอละไว้ แต่พิสูจน์ onto มันทำไม่ได้อะครับ

[polsk133]

มาพิมพ์คอมบิข้อ4ต่อให้ครับ ข้อนี้ผมชอบ

solution

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่ามีเส้นน้ำเงิน $(15)(17)$ เส้น


จากหนึ่งเส้นใดๆจะต้องใช้จุดสองจุดเป็นจุดปลาย จะได้ว่ามีการนับจุดปลายทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง

ให้นกคือ จุดปลายเส้นที่ถูกนับทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง และให้รังคือจุดที่พิจารณารวม $30$จุด

จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ถูกนับซ้ำอย่างน้อย 17 ครั้ง นั่นคือจุดๆในมีเส้นสีน้ำเงินเชื่อมอยู่ 17 เส้นเป็นอย่างน้อย


สมมติว่าจุดๆนั้นคือจุด $A$ และจุดปลายเส้นสีน้ำเงินคือ $a_1,a_2,...,a_{17}$


พิจารณาจุด $a_1$ และเส้นที่เชื่อมไปยังจุด $a_2,a_3,...,a_{17}$ รวม 16 เส้น

จะได้ว่ามีเส้นสีน้ำเงินอย่างน้อย6เส้น หรือเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย11เส้น


กรณีที่1 มีเส้นสีน่ำเงินอย่างน้อย6เส้น โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นคือ $a_2,a_3,...,a_7$


กรณีที่1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,...,a_7$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $Aa_1a_ia_j$ เป็นควีน้ำเงินขนาด4


กรณี 1.2 $a_2,a_3,...,a_7$ ทุกคู่ต่างเชื่อมกันด้วยสีแดงหรือดำ


พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่ลากไปเชื่อมกับจุด $a_3,a_4,...,a_7$รวม5เส้น

ให้เส้น 5 เส้นคือนก และเซตของรังคือ {สีดำ,สีแดง}

โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีเส้นอย่างงน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่าเป็นเส้นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_3,a_4,a_5$


กรณี 1.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดงสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2a_ia_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3


กรณี 1.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้ คือควีกสีดำขนาด 3


กรณีที่ 2 มีเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย 11 เส้น

ให้เส้นทั้ง 11 เส้นคือนก และ เซตของรังคือ {สีแดง,สีดำ}

โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีอย่างน้อย 6 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้เป็นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$


กรณีที่ 2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดง สมมติให้เป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_1,a_i,a_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3


กรณี 2.2 $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$เชื่อมกันด้วยสีน้ำเงินหรือสีดำเท่านั้น


พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่เชื่อมไปที่จุด $a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$รวม 5 เส้น

ให้เส้นทั้ง 5 เส้นเป็นนกและเซตของรังคือ {สีน้ำเงิน,สีดำ}

จะได้ว่ามีอย่างน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นที่มีสีเดียวกันคือ $a_3,a_4,a_5$


กรณีที่ 2.2.1 เส้นที่เชื่อมทั้ง3เส้นมีสีน้ำเงินเหมือนกัน


กรณีที่ 2.2.1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงิน สมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $A,a_2,a_i,a_j$ เป็นตวีกสีน้ำเงินขนาด4


กรณีที่ 2.2.1.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้เป็นควีกสีดำขนาด 3


กรณีที่ 2.2.2 เส้นที่เชื่อมทั้ง 3 เส้นมีสีดำเหมือนกัน


กรณีที่ 2.2.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีดำ สมมติว่าเป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2,a_i,a_j$ เป็นควีกสีดำขนาด 3


กรณีที่ 2.2.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินทั้งหมด จะได้ว่า $A,a_3,a_4,a_5$ เป็นควีกสีน้ำเงินขนาด 4


ดังนั้นจะเกิดควีกน้ำเงินขนาด4หรือควีกแดงขนาด3หรือควีกดำขนาด3เสมอ

ปล.โจทย์คอมบินี่พิมพ์เหนื่อยจริงๆ

[polsk133]

Algebraข้อ1

ให้ $f(z)=2z^5+z^4+2z^3+z^2+2z+1$

ให้ $w$ เป็นรากปฐมฐานที่3ของ1 จะได้ว่า $w^3=1$ และ $w^2+w+1=0$

พิจารณา $f(w)=2w^5+w^4+2w^3+w^2+2w+1=3(w^2+w+1)=0$

ดังนั้น $z^2+z+1$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $f(z) $

จะได้ $f(z)=(z^2+z+1)(2z^3-z^2+z+1)$

ให้$ g(z)=2z^3-z^2+z+1$

เนื่องจาก $g(\frac{-1}{2})=\frac{-1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{-1}{2}+1=0$

ดังนั้น $g(z)=(2z+1)(z^2-z+1)$

พิจารณา สมการ $x^2-x+1=0$ จะได้ $x=\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$

ดังนั้น รากของ $f(x)=0$ คือ $w,w^2,\frac{-1}{2},\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$ โดยที่ $w=cis\frac{2\pi}{3}$

[polsk133]

เรขาข้อ1.ทำแบบนี้ได้ปะครับ (ผมไม่ได้ทำแบบนี้)

เพราะ อ. บอกอ้าง ทบ. ได้

ก็เขียนไปเลยว่า จากจุด ............... เป็นจุดบนวงกลมเก้าจุด ซึ่ง ทบ.วงกลมเก้าจุดกล่าวว่าจุด .......... อยู่บนวงกลมเดียวกัน จบข่าว!

[polsk133]

คอมบิข้อ1ตอบ


$\dfrac{4^n-3^n+(-1)^n}{4}$ เมื่อ $n>0$ และ $0$ เมื่อ $n=0$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ทำไมศูนย์นี้เค้าโหดร้ายกับเด็กจังอ่ะครับ Isogonal conjugate มาออกเลยหรอครับเนี่ย

อาจารย์ได้สอนหรือเปล่าอ่ะครับ (ถ้าไม่ผมว่างานหนักอ่ะครับ) ใครมีพิสูจน์เกี่ยวกับพวกนี้ไหมครับ

ขอหน่อยครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

เรขาข้อ1.ทำแบบนี้ได้ปะครับ (ผมไม่ได้ทำแบบนี้)

เพราะ อ. บอกอ้าง ทบ. ได้

ก็เขียนไปเลยว่า จากจุด ............... เป็นจุดบนวงกลมเก้าจุด ซึ่ง ทบ.วงกลมเก้าจุดกล่าวว่าจุด .......... อยู่บนวงกลมเดียวกัน จบข่าว!

จำได้ผมก็ว่าน่าจะทำได้นะครับ เพราะว่าโจทย์ที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเก้าจุด

ส่วนใหญ่มันก็มีวิธีที่แก้โดยไม่อ้างวงกลม 9 จุดนี้เลย

แต่วงกลม 9 จุดน่าจะเป็นทฤษฎีที่ใช้เพื่อความสะดวกมากขึ้นอ่ะครับ ผมว่า //คหสต.