|
|
#1
14 พฤษภาคม 2013, 17:34
|
||||
|
||||
TMO10
ข้อสอบ TMO วันแรกครับ
ผมไม่ได้สอบเอง อันนี้ข้อสอบที่เพื่อนส่งมาให้ ลองทำกันดูนะครับ 
|
|
#5
14 พฤษภาคม 2013, 18:48
|
||||
|
||||
|
ข้อแรกผมทำงี้ แทน p=5
ได้ n|624=3x16x13 16,3 หารลงตัวทุก p>4 อย่างเห็นได้ชัด ส่วน 13 แทน p=7 แล้วหารไม่ลงตัว จึงได้ 48
|
|
#6
14 พฤษภาคม 2013, 18:50
|
||||
|
||||
|
$p(x)=ax+b , (x+1)(x-b),x(x-b),x(x+2)^2$ aไม่เป็น0 $a,b\in R $
|
|
#8
14 พฤษภาคม 2013, 20:18
|
||||
|
||||
|
$1. จงหาจำนวนเต็มค่ามากที่สุดที่หาร p^4-1 ลงตัว สำหรับทุกจำนวนเฉพาะp ที่มากกว่า4$
$2. ให้ เป็นรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมี\angle ABC>\angle BCA และ\angle BCA\geqslant 30^{\circ}$ $เส้นแบ่งครึ่งมุม\angle ABC และ\angle BCA ตัดด้านตรงข้ามที่จุดD และE ตามลำดับ โดยBD ตัดCE ที่จุดP$ $สมมติPD=PE และวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยมABC มีรัศมีหนึ่งหน่วย จงหาความยาวด้านBC ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้$ $3. พิจารณากำหนดสีให้จุดทุกจุดบนระนาบโดยแต่ละจุดจะกำหนดเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงินเพียงสีเดียว $ $จงแสดงว่า ไม่ว่าจะกำหนดสีอย่างไร จะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว1, 2, \sqrt{3} หน่วย ที่มีจุดยอดทั้งสามเป็นสีเดียวกัน$ $4. จงหาพหุนามโมนิกp(x) ทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และมีสมบัติทั้งสองข้อต่อไปนี้$ $1.p(x) ไม่เป็นพหุนามคงตัว และมีรากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงซึ่งไม่ซ้ำกัน$ $2. ถ้าa และb เป็นรากของ แล้วa+b+ab เป็นรากของp(x)$ $5. จงหาจำนวนเต็มบวกห้าหลักn (ในระบบฐานสิบ) โดยมีสมบัติว่าn^3-1 หารด้วย 2556 ลงตัว$ $ และผลรวมของเลขโดดทั้งหมดของn มีค่าน้อยที่สุดท่เป็นไปได้$ $6. จงหาฟังก์ชันf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข$ $(x^2+y^2)f(xy) = f(x)f(y)f(x^2+y^2)$ $ สำหรับทุกจำนวนจริงx และy$
__________________
SKN #33 POSN 2012-2013 IPST 1/2014 TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal
|
|
#10
14 พฤษภาคม 2013, 20:42
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
|
|
#11
14 พฤษภาคม 2013, 20:44
|
||||
|
||||
|
ข้อ 2 ลองหาขนาดของมุม $A$ ครับ แล้วใช้ Jensen หาค่าสูงสุดของด้าน $BC$ ได้ครับ (อัดตรีโกณ)
ไม่ก็ใช้ Lemma นี้ $\frac{R}{r}\geqslant 2$ (ควรพิสูจน์ด้วย) และ Law of sine ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
|
|
#14
15 พฤษภาคม 2013, 02:09
|
|||
|
|||
|
ข้อ 3 ต้องพิสูจน์ก่อนว่า มี 2 จุดห่างกัน 2 หน่วยและสีเดียวกัน
( prove : WLOG เลือกจุดสีแดง,say O และ วาดวงกลมจุดศูนย์กลาง O รัศมี 2 หน่วย ถ้าบนเส้นรอบวงเจอจุดสีแดงก็จบ ถ้าไม่เจอเลย แปลว่าบนเส้นรอบวง มีแต่สีน้ำเงิน ก็เลือกคอร์ดยาว 2 หน่วย สีน้ำเงิน แทน ) สมมติ 2 จุดห่างกัน 2 หน่วยนี้เป็นสีแดง (R) ดังภาพ เราสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นมา 2 รูป บนด้าน RR ถ้าจุดใดจุดหนึ่งในจุดกึ่งกลางด้าน 4 จุดที่ mark ไว้เป็นสีแดงก็จบ มิฉะนั้นเป็นสีน้ำเงินหมด พิจารณาสามเหลี่ยมเส้นประแทน ก็จะได้ตามโจทย์ต้องการ  --------------------------------------------------------------------------------- ข้อ 5 (Main idea) $ 2556 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 71 $ $ n^3 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow n \equiv 1 \pmod{4} $ $ n^3 \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow n \equiv 1,4,7 \pmod{9} $ $ n^3 \equiv 1 \pmod{71} \Rightarrow n \equiv 1 \pmod{71} $ (เนื่องจากมีจำนวนเต็มบวก x ที่ $ 3x \equiv 1 \pmod{70} $ แล้ว apply Fermat little theorem จะได้สิ่งที่ต้องการ) ที่เหลือไม่ยากแล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
  |
| เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|
