[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2556] ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยครับ

[ปีกแห่งจอมมาร]

$1$ .ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวน $n$ ทั้งหมดซึ่ง $n^2$ ลงท้ายด้วย $21$
$2$ .จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการข้างล่างเป็นจริง
$X^2y$-$xy^2$+$x^2$+$y$=1
$xy^2$-$x^2y$+$y^2$+$x$=1

[กิตติ]

2.$x^2y-xy^2+x^2+y=1$.....(1)
$xy^2-x^2y+y^2+x=1$.....(2)
จับสมการเท่ากัน
$x^2y-xy^2+x^2+y=xy^2-x^2y+y^2+x$
$(x^2-y^2)+2xy(x-y)-(x-y)=0$
$(x-y)(x+y+2xy-1)=0$
กรณีแรก $x=y$ จะได้ว่า $x^2+x-1=0$
$x=y=\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2} $
กรณีที่สอง $(x+y+2xy-1)=0 $
(1)+(2)
$x^2+y^2+y+x=2$
$x^2+y^2+(x+y)=2$
$x^2+y^2+1-2xy=2$
$x^2-2xy+y^2-1=0$
$(x-y)^2-1=0$
$(x-y-1)(x-y+1)=0$
$x-y=\pm 1$

$x=y+1$
$x^2y-xy^2+x^2+y=1$
$xy(x-y)+x^2+y=1$
$y(y+1)+(y+1)^2+y=1$
$2y^2+4y=0$
$2y(y+2)=0 \rightarrow y=0,-2 $
$(1,0),(-1,-2)$

$x=y-1$
$x^2y-xy^2+x^2+y=1$
$xy(x-y)+x^2+y=1$
$-y(y+1)+(y-1)^2+y=1$
$-2y=0 \rightarrow y=0$
$(-1,0)$

ลองแทนกลับไปอีกสมการหนึ่ง
$xy^2-x^2y+y^2+x=1$
$xy(y-x)+y^2+x=1$
$x=y+1 \rightarrow y-x=-1$
$-y(y+1)+y^2+y+1=1$
$1=1$
$x=y-1 \rightarrow y-x=1$
$y(y-1)+y^2+y-1=1$
$2y^2-2=0$
$2(y-1)(y+1)=0$
$y=1,-1$
$(0,1),(-2,-1)$
แต่เมื่อเช็คค่าแล่วใช้ได้แค่ $(0,1)$

คำตอบมี 6 คู่คือ $(1,0),(-1,-2),(-1,0),(0,1),(\frac{-1+ \sqrt{5} }{2} ,\frac{-1+ \sqrt{5} }{2} ),(\frac{-1- \sqrt{5} }{2} ,\frac{-1- \sqrt{5} }{2} )$

[กิตติ]

ข้อแรก ผมจำได้ว่าอ่านเจอในพวกคณิตคิดสนุกว่า
$11\times 11=121$
$111\times 111=12321$
$1111\times 1111=123421$
เรื่องพิสูจน์ว่า มีเพียงเลขกลุ่มนี้เพียงกลุ่มเดียวหรือเปล่า ผมไม่แน่ใจครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปีกแห่งจอมมาร

$1$ .ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวน $n$ ทั้งหมดซึ่ง $n^2$ ลงท้ายด้วย 21

โจทย์ของอะไรครับ

solution

เนื่องจาก $(\overline{...dcba})^2 = ...\overline{(2ab)(a^2)}$

แสดงว่า $a^2$ ต้องลงท้ายด้วย 1 ดังนั้น a = 1 หรือ a = 9

กรณีที่ 1. a = 1
หลักสิบคือ 2ab = 2b ต้องลงท้ายด้วย 2 ดังนั้น b = 1 หรือ 6

กรณีที่ 2. a = 9
หลักสิบคือ 2ab + 8 = 18b + 8 ต้องลงท้ายด้วย 2 แสดงว่า 18b ลงท้ายด้วย 4 นั่นคือ b = 3 หรือ 8

สรุปได้ว่า n = จำนวนนับทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 11, 61, 39, 89 แล้วจะได้ $n^2$ ลงท้ายด้วย 21

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

โจทย์ของอะไรครับ

solution

เนื่องจาก $(\overline{...dcba})^2 = ...\overline{(2ab)(a^2)}$

แสดงว่า $a^2$ ต้องลงท้ายด้วย 1 ดังนั้น a = 1 หรือ a = 9

กรณีที่ 1. a = 1
หลักสิบคือ 2ab = 2b ต้องลงท้ายด้วย 2 ดังนั้น b = 1 หรือ 6

กรณีที่ 2. a = 9
หลักสิบคือ 2ab + 8 = 18b + 8 ต้องลงท้ายด้วย 2 แสดงว่า 18b ลงท้ายด้วย 4 นั่นคือ b = 3 หรือ 8

สรุปได้ว่า n = จำนวนนับทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 11, 61, 39, 89 แล้วจะได้ $n^2$ ลงท้ายด้วย 21

น่าจะเป็นโจทย์ คัดเลือก สอวน ศูนย์หาดใหญ่ ที่เพิ่งสอบไปเมื่อวันที่ 4 สค นี้ครับ

[ปีกแห่งจอมมาร]

เป็นข้อสอบคัดเลือกสอวนที่เพิ่งสอบไปคับ ของศูนย์หาดใหญ่

[gon]

ถ้ามีทั้งชุดก็ดีนะครับ.

[pogpagasd]

จำได้สองข้อครับยากมากครับปีนี้ผมน่าจะไม่ติด

$1.\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} }+\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }=1$

ข้อนี้ผมน่าจะตอบ $ -\frac{1}{2}$ ไป

2.กำหนด m,n เป็นจำนวนเต็มบวก $(m+n)!\left|\,\right.50!$ และ $ (m-1)!\left.\,\right| 6n!$ จงหาค่ามากที่สุดของ M

ข้อนี้ตอบ 43

[ปีกแห่งจอมมาร]

$1$.ให้ $a b c$เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $|ax+b|<=(x+c)^2$ ทุกค่าของ $x$
จงหาค่ามากที่สุดของ $ab+ba+ca$
เดี๋ยวค่อยมาลงเพิ่มครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd

จำได้สองข้อครับยากมากครับปีนี้ผมน่าจะไม่ติด

$1.\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} }+\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }=1$

ข้อนี้ผมน่าจะตอบ $ -\frac{1}{2}$ ไป

แทนค่าแล้วไม่จริงนี่ครับ.

[pogpagasd]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

แทนค่าแล้วไม่จริงนี่ครับ.

เดาไปไงครับ คิดไม่ออกจริงๆ = =

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd

จำได้สองข้อครับยากมากครับปีนี้ผมน่าจะไม่ติด

$1.\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} }+\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }=1$

ข้อนี้ผมน่าจะตอบ $ -\frac{1}{2}$ ไป

ข้อ1คงต้องใช้แนว $A^5+B^5=2x,A^5B^5=-1,A+B=1$
โดย$A=\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} },B=\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }$
ข้อ2 ตอบ$43$ ถูกแล้วครับ

[pogpagasd]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อ1คงต้องใช้แนว $A^5+B^5=2x,A^5B^5=-1,A+B=1$
โดย$A=\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} },B=\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }$
ข้อ2 ตอบ$43$ ถูกแล้วครับ

ข้อ 2 ผมเชื่อว่าต้องมีคนตอบ 1 เยอะแน่เลยถ้าไม่คิดดีๆผมก็เกือบตอบ 1 ละ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อ1คงต้องใช้แนว $A^5+B^5=2x,A^5B^5=-1,A+B=1$
โดย$A=\sqrt[5]{x+\sqrt{x+1} },B=\sqrt[5]{x-\sqrt{x+1} }$
ข้อ2 ตอบ$43$ ถูกแล้วครับ

ดูเหมือนจะจำโจทย์มาผิดเยอะเลยนี่ครับ

1. ถ้าเป็นแบบนี้ จะได้ $AB \ne -1$

2. ข้อนี้ตรงข้างหลัง ควรจะเป็น $(6n)!$ ไม่ใช่ $6n!$

[Tsunami]

$\sqrt[5]{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt[5]{x-\sqrt{x^2+1}}=1$
โจทย์เป็นอย่างนี้ครับ ผมลองคิดแล้วได้ 6.5 รบกวนท่านอื่นๆชี้แนะด้วยครับ