ขอโจทย์ Am-Gm Cauchy

[Slurpee]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช้ AM-GM กับก้อนทางขวาหรือยัง

สำหรับข้อ 1.รบกวนเฉลยด้วยครับ มันงงอะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ข้อ 4

$\dfrac{2a^3+b^3}{3} \geqslant a^2b $
$\dfrac{2b^3+c^3}{3} \geqslant b^2c$
$\dfrac{2c^3+a^3}{3} \geqslant c^2a$

บวกกันได้ ตามต้องการ อสมการจะเป็นสมการ เมื่อ $a=b=c$

ข้อ 5
$\dfrac{a^3+2b^3}{3} \geqslant ab^2 $
$\dfrac{b^3+2c^3}{3} \geqslant bc^2$
$\dfrac{c^3+2a^3}{3} \geqslant ca^2$

บวกกันจะได้ ตามที่ต้องการ อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b=c$

อธิบายเพิ่มเติมหน่อยนะครับยังไม่ค่อยเข้าใจเลยครับ มาได้ไงครับ
ตอบเองเลยครับ
$\dfrac{2a^3+b^3}{3} \geqslant a^2b $
มาจาก
$\dfrac{a^3+a^3+b^3}{3} \geqslant a^2b $
ใช่ไหมครับ เพิ่งคิดออกครับ

[nooonuii]

1. $abc\geq a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เพิ่มให้อีกข้อ
11. $a,b,c>0$
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq\dfrac{9}{ab+bc+ca}$

ข้อนี้ทำแบบนี้ได้ไหมครับว่า แปลงรูปอสมการได้เป็น
$(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})\times(ab+bc+ca) \geq 9 $
กระจายได้
$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) +(\frac{ab}{c^2} )+(\frac{bc}{a^2} )+(\frac{ac}{b^2} )$
จาก$a+\frac{1}{a} \geqslant 2$ ดังนั้น
$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}) \geqslant 2$
$(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}) \geqslant 2$
$(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) \geqslant 2$
และ$(\frac{ab}{c^2} )+(\frac{bc}{a^2} )+(\frac{ac}{b^2} ) \geqslant 3\times \sqrt[3]{(\frac{ab}{c^2} )(\frac{bc}{a^2} )(\frac{ac}{b^2} )} \geqslant 3$
รวมอสมการทั้งหมดจะได้
$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) +(\frac{ab}{c^2} )+(\frac{bc}{a^2} )+(\frac{ac}{b^2} ) \geqslant 2+2+2+3 \geqslant 9$

[Wings_Evolution]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

5. $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$

$$2(a^3+b^3+c^3)\geq 2(ab^2+bc^2+ca^2)$$
$$\sum_{cyc} a^3+b^3+b^3 \geqslant 3ab^2$$

[Wings_Evolution]

10. $\sum_{cyc}\sqrt{x} \geq \sum_{cyc}xy , x+y+z = 3$

From identity$$ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2$$
$$\Rightarrow 2\sum_{cyc}\sqrt{x} \geq 2\sum_{cyc}xy$$
$$\sum_{cyc} x^2+\sqrt{x} +\sqrt{x} \geqslant 3x = (x+y+z)^2$$