โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[PP_nine]

การจะทำโจทย์ได้ดีต้องตีกรอบใช้แค่อสมการง่ายๆ แล้วดีไซน์การแก้โจทย์ให้ออกก็ใช้ได้แล้วครับ

[จูกัดเหลียง]

$a,b,c>0$ เเละ สอดคล้องกับ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$$
จงเเสดงว่า $$\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)\le a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$a,b,c>0$ เเละ สอดคล้องกับ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$$
จงเเสดงว่า $$\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)\le a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$$

จากอสมการโฮลเดอร์ได้
$$(\sum_{cyc}\frac{a}{b+c})^3(\sum_{cyc}a(b+c))\geqslant (\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c} })^4 \Leftrightarrow a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$$
เพราะว่าจากเงื่อนไข$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$$

[PP_nine]

แวะมาเฉลยให้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

9. $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ พิสูจน์ $$\frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{(1+y)^3}{1+z^3}+\frac{(1+z)^3}{1+x^3} \ge \frac{240}{49}+\frac{288}{49} (xy+yz+zx)$$

โดย AM-GM พิจารณา
$$\frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{12}{7}(1+y)+\frac{144}{49}(1-y+y^2) \ge 3\cdot\frac{12}{7}\cdot(1+x)$$
$$\therefore \sum_{cyc} \frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{12}{7}(3+x+y+z)+\frac{144}{49}(3-(x+y+z)+x^2+y^2+z^2) \ge 3\cdot\frac{12}{7}\cdot(3+x+y+z)$$
ที่เหลือแทนค่า $x+y+z=1$ แล้วแทน $x^2+y^2+z^2=1-2(xy+yz+zx)$ จัดรูปก็จะได้
$$\frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{(1+y)^3}{1+z^3}+\frac{(1+z)^3}{1+x^3} \ge \frac{240}{49}+\frac{288}{49} (xy+yz+zx)$$

อีกข้อผมทดเลขผิดครับ มึน ขออภัยด้วย

แก้ $\frac{50}{7}$ เป็น $\frac{36}{7}$ ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

12. $a_1,a_2,...,a_n>0$ (โดยที่ $n \ge 2$) สอดคล้องอสมการ $$\left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^3} \right) \le \left(\, n+\frac{36}{7} \right) ^3$$ พิสูจน์ $$\max \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} \le 7 \min \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} $$

WLOG, สมมติให้ $a_1 \le a_2 \le ... \le a_n$

โดย Holder
$$(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)(a_1^2+a_2^2+...+a_{n-1}^2+a_n^2)\Big( \frac{1}{a_n^3}+\frac{1}{a_2^3}+...+\frac{1}{a_{n-1}^2}+\frac{1}{a_1^3} \Big) \ge \Big( \frac{a_1}{a_n}+1+...+1+\frac{a_n}{a_1} \Big) ^3$$
ดังนั้น โดยอสมการเงื่อนไขได้ว่า
$$\frac{a_1}{a_n}+n-2+\frac{a_n}{a_1} \le n+\frac{36}{7}$$
$$7a_1^2-50a_1a_n+7a_n^2 \le 0$$
$$(7a_1-a_n)(a_1-7a_n) \le 0$$
$$(7a_1-a_n)(7a_n-a_1) \ge 0$$
แต่ $7a_n > a_1$ เสมอ (เพราะเป็นจำนวนจริงบวก เลยไม่มีทางเท่ากัน) ดังนั้น
$$7a_1-a_n \ge 0$$
$$a_n \le 7a_1$$
$$\therefore \max \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} \le 7 \min \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} $$

[จูกัดเหลียง]

#124 มีโจทย์อีกไหมอ่ะครับ( ลงเลยครับๆ ) ไม่ต้องคิดเองก็ได้

ปล.สอบสมาคมป่าวอ่ะครับ

[PP_nine]

สอบอยู่แล้วครับ ตอนแรกเกือบไม่ได้สอบเพราะติดงานโรงเรียน แต่เพราะเลื่อนเลยไปได้

ช่วงนี้ผมว่าจะเลิกเล่นไปอีกนาน เลยแวะมาเฉลยให้เฉยๆน่ะครับ

[LightLucifer]

#126
ไปไหนอ่ะ พีพี ??

[PP_nine]

แหม ไม่ต้องเรียกชื่อเล่นจริงๆก็ได้ (แต่ username ก็น่าจะบอกอยู่)

ก็ว่าจะหนีไปเตรียมสอบเอ็นท์นี่แหละ