ช่วยเฉลยหน่อยคับ^^

[nooonuii]

6. ให้ $a,b,c > 0$ และ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} = 1$ จงพิสูจน์ว่า
$$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\geq 64abc$$

[Mathophile]

ขอลองทำบ้างนะครับ

6. โดยอสมการ A.M.-H.M. จะได้
$9\leq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=a+b+c$
หารตลอดด้วย abc จะได้
$\begin{array}{rclrl}
\frac{9}{abc}&\leq &\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\\
\frac{8}{abc}&\leq &1-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\frac{1}{abc}&=&(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\\
\frac{64}{(abc)^2}&\leq &(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})\cdot (1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\cdot (1-\frac{1}{c})(1-\frac{1}{a})&=&(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{a}+\frac{1}{bc})(\frac{1}{b}+\frac{1}{ca})\\
\end{array}$
คูณตลอดด้วย $(abc)^3$ จะได้อสมการตามต้องการ

รู้สึกเหมือนวิธีนี้มันวกไปวนมา ยังไงก็ไม่รู้ เพราะมีทั้งหารและคูณด้วย abc คิดว่าน่าจะมีวิธีอื่นอีกครับ

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ Tricky ครับ

เดี๋ยวถ้าไม่มีใครมาคิดต่อจะเฉลยให้ดูครับ

เฉลยเลยดีกว่า ใครที่อยากคิดต่ออย่าเพิ่งดูเฉลยนะครับ

Solution:

อยากดูจริงเหรอ

แน่ใจนะว่าจะไม่คิดต่อ

เฉลย

คูณ $abc$ ทั้งสองข้าง จะได้
$$(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)\geq 64(abc)^2$$
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ $abc = ab+bc+ca$

โดยอสมการ AM-GM

$a^2 + abc = a^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^4b^2c^2} = 4a\sqrt{bc}$

$b^2 + abc = b^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^4c^2} = 4b\sqrt{ca}$

$c^2 + abc = c^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^2c^4} = 4c\sqrt{ab}$

คูณทั้งสามอสมการเข้าด้วยกันก็จะได้อสมการที่ต้องการ

อีกวิธีนึงคือให้สังเกตว่า

$a^2+ab+bc+ca = (a+b)(a+c)$

$b^2+ab+bc+ca = (b+a)(b+c)$

$c^2+ab+bc+ca = (c+a)(c+b)$

ดังนั้น

$(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)=\Big[(a+b)(b+c)(c+a)\Big]^2\geq (8abc)^2$

[nooonuii]

7. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า

$$\Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2\geq\frac{3}{4}$$

[kanakon]

$$\because \Big(\frac{a}{b+c}\Big)+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)\geq\frac{3}{2}$$

บทพิสูจน์ของพี่ nooonuii http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1186&page=5

ยกกำลังสองทั้งสองข้า

$$\frac{9}{4}\leq \Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2+2(\frac{a}{b+c})(\frac{b}{c+a})+2(\frac{a}{b+c})({ \frac{c}{a+b}})+2(\frac{b}{a+c})(\frac{c}{a+b})$$
จากอสมการโคชี
$$\leq 3\Big[\Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2\Big]$$

หาร 3 ก็จะได้ตามต้องการ

[nooonuii]

เยี่ยมครับ

8. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$

[nooonuii]

ยังมีคนอยากคิดข้อ 8 ต่อรึเปล่าครับ ถ้าไม่มีอีกสามวันจะมาเฉลยแล้วครับ

[Spotanus]

ไม่ยากนิครับ ใช้โคชี
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{b^2+bc+c^2+c^2+ca+a^2+a^2+ab+b^2} =1$$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ไม่ยากนิครับ ใช้โคชี
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{b^2+bc+c^2+c^2+ca+a^2+a^2+ab+b^2} =1$$

อสมการสุดท้ายไม่จริงครับ $\because$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $ab+bc+ca \geq a^2+b^2+c^2$
ซึ่งไม่จริงครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เยี่ยมครับ

8. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$

อสมการสมมูลกับ $$\sum_{sym}a^5b+\sum_{cyc}a^6 \geq \sum_{cyc}a^3b^3+\sum_{sym}a^3b^2c$$
ซึ่งเป็นจริงโดย muirhead;$$\sum_{sym}a^5b \geq \sum_{sym}a^3b^2c$$ และ AM-GM; $$\sum_{cyc}a^6 \geq \sum_{cyc}a^3b^3$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

8. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$

ข้อนี้ใช้ AM-GM กับ Nesbitt inequality ก็ได้ครับ

$$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}\geq \dfrac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\Big)$$

ดังนั้น $$LHS\geq\frac{2}{3}\Big(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\Big)\geq 1$$

ปิดกระทู้ครับ