max min trigonometry

[Suwiwat B]

Let $0 < \theta < \frac{\pi }{2}$ จงหาค่า max , min (ถ้ามี) ของ
$f(\theta ) = sec^6\theta + cosec^6\theta +sec^6\theta cosec^6\theta$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

Let $0 < \theta < \frac{\pi }{2}$ จงหาค่า max , min (ถ้ามี) ของ
$f(\theta ) = sec^6\theta + cosec^6\theta +sec^6\theta cosec^6\theta$

ค่าต่ำสุดคือ $80$ ค่าสูงสุดไม่มีเพราะว่าถ้า $\theta\to 0$ แล้ว $\csc{\theta}\to \infty$

ให้ $A=\sin{\theta},B=\cos{\theta}$ จะได้ว่า $A^2+B^2=1$

ดังนั้น

$\dfrac{1}{A^6}+\dfrac{1}{B^6}+\dfrac{1}{A^6B^6}=\dfrac{A^6+B^6+1}{A^6B^6}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\dfrac{1+(A^2+B^2)((A^2+B^2)^2-3A^2B^2)}{A^6B^6}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\dfrac{2-3A^2B^2}{A^6B^6}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq 80$

[กิตติ]

ข้อนี้ผมคิดแบบนี้ได้ไหมครับ
$sec^2x+cosec^2x=2+tan^2x+cot^2x=sec^2x\cdot cosec^2x$

ให้$A=sec^2x,B=cosec^2x$

$f(x)=A^3+B^3+A^3B^3$ เนื่องจาก$A+B=AB$

$f(x)=(A+B)^2[2(A+B)-3] =(sec^2x+cosec^2x)^2[2(sec^2x+cosec^2x)-3]$

$sec^2x+cosec^2x= \dfrac{4}{sin^22x} $

จาก$-1 \leqslant sin x\leqslant 1 \rightarrow 0\leqslant sin^2 x\leqslant 1$ จะได้อีกว่า
$\dfrac{1}{sin^2 x} \geqslant 1 \rightarrow \dfrac{4}{sin^22x} \geqslant 4$ เว้นค่า$sin x=0$
$sec^2x+cosec^2x= \dfrac{4}{sin^22x} \geqslant 4$

$(sec^2x+cosec^2x)^2 \geqslant 16$
$sec^2x+cosec^2x \geqslant 4 \rightarrow 2(sec^2x+cosec^2x) \geqslant 8$
$2(sec^2x+cosec^2x)-3 \geqslant 5$
$(sec^2x+cosec^2x)^2[2(sec^2x+cosec^2x)-3] \geqslant 16\cdot 5 \geqslant 80$
ดังนั้น$f(x)$มีแต่ค่าต่ำสุดคือ $80$