โจทย์ AM-GM 2 ข้อครับ

[Keehlzver]

ขอบคุณมากครับ

ว่าแต่ ตี 3 ยังไม่นอนอีกเหรอครับ !

[Amankris]

#16

ก็แล้วแต่วันน่ะครับ

ถ้ามีงานต้องเคลียร์เยอะก็ดึกหน่อย

[จูกัดเหลียง]

#16,#17 สรุปเเล้ว ข้อ 4. มันยังไงเเน่อ่ะครับ
= ="

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

4.ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงพิสูจน์ว่า $32$ เท่าของพื้นที่มีค่าไม่เกินกำลังสองของความยาวรอบรูป

ไม่จริงครับ ต้องเป็น

ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงพิสูจน์ว่า $12\sqrt{3}$ เท่าของพื้นที่มีค่าไม่เกินกำลังสองของความยาวรอบรูป

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

ผมขอถามโจทย์เพิ่มนะครับ
จงพิสูจน์ว่า
1. จงพิสูจน์ว่า $(n+1)^{\frac{n-1}{2}}$ $<$ $n!$ $<$ $n^n$ และ ให้ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $n\geqslant 2$

2.จงแสดงว่า $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}$ $\geqslant \frac{1}{2}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ

3.จงแสดงว่า $(n!)^2 \geqslant (n+1)^{n-1}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ

1. อสมการแรกลองพิสูจน์ว่า $(n!)^2\geq n^n$

โดยจัดรูปเป็น

$\dfrac{1}{(n!)^2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 3}\cdots\dfrac{1}{(n-1)n}\cdot \dfrac{1}{n\cdot 1}$

แล้วใช้ AM-GM ครับ

ถ้าอยากได้อสมการที่โจทย์ต้องการให้เอา $(n+1)$ คูณทั้งสองข้างครับ

อสมการที่สองเห็นชัดมั้ย

2. พิสูจน์แค่ว่า $\dfrac{1}{n+k}\geq\dfrac{1}{2n}$ ทุก $k=1,2,...,n$ ก็จบแล้ว

3. มาจากข้อหนึ่งมิใช่หรือ

[PP_nine]

ว้าววว ไม่ได้แตะพวกนี้มานาแล้ว ฝืดหมดเลย

[template]

1.\[\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i}\geqslant n\sqrt[n]{\frac{\prod_{i=1}^{n}a_i}{\prod_{i=1}^{n}b_i }}=n\sqrt[n]{\frac{\prod_{i=1}^{n}a_i}{\prod_{i=1}^{n}a_i }}=n\]
2.\[\sum_{cyc}\frac{1}{a}=\sum_{cyc}\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\geqslant \sum_{cyc}\frac{2}{a+b}\geqslant \frac{9}{\sum_{cyc}\frac{a+b}{2}}=\frac{9}{a+b+c}\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

ผมขอถามโจทย์เพิ่มนะครับ
จงพิสูจน์ว่า
1. จงพิสูจน์ว่า $(n+1)^{\frac{n-1}{2}}$ $<$ $n!$ $<$ $n^n$ และ ให้ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $n\geqslant 2$

2.จงแสดงว่า $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}$ $\geqslant \frac{1}{2}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ

3.จงแสดงว่า $(n!)^2 \geqslant (n+1)^{n-1}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ

4.ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงพิสูจน์ว่า 32 เท่าของพื้นที่มีค่าไม่เกินกำลังสองของความยาวรอบรูป

Mathematical induction