โจทย์เรื่องฟังก์ชัน จงหาค่า f(-1)-5f(3)+4f(4)

[dephenul]

กำหนดให้ $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
โดยที่ $a,b,c,d\in \mathbf{R} $ , $f(n)=nsin\theta;n={1,2,3}$
เมื่อ$\theta$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าของ $f(-1)-5f(3)+4f(4)$

[LightLucifer]

ได้ 72 รึป่าวครับ

[dephenul]

ผมยังคิดไม่ออกหรอกครับ ^^ เอาโจทย์มาแชร์ให้ลองคิดกันดู

[LightLucifer]

ผมให้ $P(x)=f(x)-xsin\theta$ จะได้ $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)$ จะได้ $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+xsin\theta$ แล้วก็แทนค่าตอบเลยครับ

[dephenul]

ผมได้120อ่ะครับ วิธีทำของคุณLightLucifer ถูกแล้ว น่าจะผิดตอนบวกลบคูณหาร

[LightLucifer]

555+ จริงด้วย

[lek2554]

$f(n)=nsin\theta $ นิยามเฉพาะ $n=1,2,3$

หา $f(-1)$ ยังไงครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$f(n)=nsin\theta $ นิยามเฉพาะ $n=1,2,3$

หา $f(-1)$ ยังไงครับ

จะมอง $\sin \theta = k$ เป็นค่าคงที่ธรรมดาๆก็ได้ครับ จะได้มองง่ายๆ

วิธีทำก็อย่างที่คุณ LightLucifer ได้เฉลยไปแล้ว

สรุปก็คือ $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+kx$ เมื่อ $r$ คืออีกรากของสมการที่เรายังไม่รู้

และเมื่อเราแทนค่าตามที่โจทย์ต้องการ ค่าคงที่พวก $r,k$ ก็จะหายไปเหลือเพียงตัวเลยยังไงล่ะครับๆ

[lek2554]

#8 แต่เงื่อนไข

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมให้ $P(x)=f(x)-xsin\theta$ จะได้ $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)$ จะได้ $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+xsin\theta$

เป็นจริงเฉพาะ $x=1,2,3$ นี่ครับ

[PP_nine]

งั้นผมจะอธิบายให้เลยละกันๆ

กำหนด $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b,c,d\in \mathbb{R}$
$f(n)=kn$ สำหรับ $n={1,2,3}$ เมื่อ$k$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าของ $f(-1)-5f(3)+4f(4)$

สร้าง $p(x)=f(x)-kx$ สังเกตว่า $p(1)=p(2)=p(3)=0$ เพราะ $f(x)=kx$ สำหรับ $x=1,2,3$

(ที่คุณ lek2554 สงสัยมันใช้แค่ตรงนี้ครับ ต่อจากนี้ไปไม่ได้เกี่ยวกับอันนี้แล้ว)

โดยทฤษฎีเศษเหลือก็จะได้ว่า $x-1,x-2,x-3$ ต่างเป็นแฟคเตอร์ของ $p(x)$

แต่ $p(x)$ ก็ต้องมี 4 รากเหมือนกับ $f(x)$ เพราะมีดีกรี 4 เท่ากัน สมมติให้อีกรากที่เรายังไม่รู้เป็น $r$

ก็จะได้ $p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)$ แล้วค่อยแทนลงไปในสมการเดิมได้ $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+kx$

ที่เหลือก็คิดเลขธรรมดาๆครับ

$f(-1)=(-2)(-3)(-4)(-1-r)-k=24+24r-k$

$-5f(3)=-5(3k)=-15k$

$4f(4)=4(4-1)(4-2)(4-3)(4-r)+4(4k)=96-24r+16k$

จับรวมกันก็จะได้ $f(-1)-5f(3)+4f(4)=24+96=120$

[lek2554]

#10
ผมคิดว่าจากข้อมูลที่โจทย์กำหนด ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่า ค่าของ $f(-1) , f(4)$ จะอยู่ในรูป $k$ หรือเปล่าครับ

เพราะการสร้าง $f(x)=p(x)+kx$ เปรียบเสมือนกับ

ให้ $p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)$ และ $g(x)=kx ,x=1,2,3$

$f(x)=p(x)+g(x)$ จะได้ $D_{p+g}=\left\{1,2,3\right\}$

ดังนั้น $f(-1) , f(4)$ จึงไม่นิยาม

[LightLucifer]

ให้ P(x) เป็นพหุนามอ่ะครับ ผมไม่เข้าใจตรง Domain อ่ะครับ

[หยินหยาง]

มาช่วยให้วุ่นไปอีกครับ

ท่านเล็กปีเถาะครับ โจทย์ข้อนี้จะเห็นว่ามีตัวคงที่ที่ไม่ทราบค่า 4 ตัวคือ $a, b, c, d$ และโจทย์ให้หาค่าของ $f(-1)-5f(3)+4f(4)$ จะเห็นว่าถ้าเราแทนค่าตามที่โจทย์ต้องการแล้วมันก็ยังติดตัวคงที่อยู่ดี คนออกโจทย์จึงสร้างเงื่อนไขเพื่อให้ได้คำตอบ เป็นค่าที่แน่นอน โดยกำหนดให้ว่า
ถ้า แทน $ x = 1 ,f(1) = \sin \theta = 1+a+b+c+d$
ถ้า แทน $ x = 2 ,f(2) = 2 \sin \theta = 16+8a+4b+2c+d$
ถ้า แทน $ x = 3 ,f(3) =3 \sin \theta = 81+27a+9b+3c+d$
แต่ถ้าแทน $ x = 4 ,f(4) = 256+64a+16b+4c+d$

ดังนั้นถ้าเราแทนค่าตามที่โจทย์ถามก็จะหาคำตอบได้ยากอยู่ดีเทคนิคที่เค้ามักทำกันก็คือสร้างฟังก์ชั่นใหม่ตามเงื่อนไขของโจทย์โดยที่ยัง มีความหมายและค่าเหมือนเดิม ก็คือทำแบบความเห็นข้างบนที่ได้แสดงไว้แล้วฟังก์ชั่นใหม่ที่สร้างขึ้นมาก็คือ

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+x \sin\theta = f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า $x$เป็นค่าอะไรก็ตามก็ยังตรงตามเงื่อนไขโจทย์ครับ

วุ่นพอมั้ยครับท่านเล็กปีเถาะ

[PP_nine]

โดเมนไม่ต้องห่วงครับ เพราะ $f$ เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีโดเมนบนจำนวนจริงอยู่แล้ว (ทำให้ $p$ เป็นดีกรี 4 ด้วย)

โดยมีเงื่อนไขพิเศษ บลาๆๆ อย่างที่คุณหยินหยางได้อธิบายแล้วไงครับๆ

[lek2554]

ขอบคุณท่านซือแป๋ และน้อง ๆ ครับ

ผมเข้าใจผิดไปเองครับ ไปมองเงื่อนไข $f(n)=nsin\theta ,n=1,2,3$ ว่าเป็นฟังก์ชันใหม่ $g(x)=xsin\theta ,x=1,2,3$

ทำให้มองการสร้าง $f(x)=p(x)+xsin\theta $ ว่าเป็นเรื่องพีชคณิตของฟังก์ชัน ซึ่ง $D_{p+g}=D_p\cap D_g$

จริง ๆ แล้วเป็นเพียงเทคนิคการสร้างฟังก์ชันให้ได้ตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด

และค่าของ $f(-1),f(4)$ จะต้องอยู่ในรูป $sin\theta $

เนื่องจากเมื่อแทนค่าตามที่ท่านซือแป๋แสดงให้ดู แล้วแก้สมการ ค่าของ $a,b,c,d$ จะอยู่ในรูป $sin\theta $

ไม่เคยใช้เทคนิคนึ้เลย งง ครับ

แล้วถ้าผมให้ $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b$ และ $c$ เป็นค่าคงตัว โดยที่ $f(1)=2012$ และ $f(2)=2555$ แล้วตั้งคำถามให้ได้คำตอบเป็นค่งคงตัว จะมีเทคนิคไหม๊ครับ

อันนี้ตั้งโจทย์เล่น ๆ นะครับ