โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ให้ $x,y,z>0$ โดยที่ $x^6+y^6+z^6=x^3+y^3+z^3$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{x^8+y^8+z^8}{3} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\cdot \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\cdot \frac{x+y+z}{3}$$

\[\frac{\sum_{cyc}x^8}{3}\ge \big(\frac{\sum_{cyc}x^6}{3}\big)^{\frac{4}{3}}\ge \big(\frac{\sum_{cyc}x^6}{3}\big)^{\frac{2}{3}}\big(\frac{\sum_{cyc}x^3}{3}\big)^{\frac{4}{3}}\ge \big(\frac{\sum_{cyc}x^6}{3}\big)^{\frac{2}{3}}\big(\frac{\sum_{cyc}x^3}{3}\big)^{\frac{1}{3}}\big(\frac{\sum_{cyc}x^2}{3}\big) \big(\frac{\sum_{cyc}x}{3}\big)=\big(\frac{\sum_{cyc}x^3}{3}\big)\big(\frac{\sum_{cyc}x^2}{3}\big)\big(\frac{\sum_{cyc}x}{3}\big )\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\dfrac{x^8+y^8+z^8}{3}\geq \Big(\dfrac{x^6+y^6+z^6}{3}\Big)^{8/6}\geq \Big(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\Big)^2\geq \dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\cdot \dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}\cdot \dfrac{x+y+z}{3}$

Power mean - เงื่อนไขโจทย์ - chebychev

เติมให้ จะได้ต่อเนื่อง

$a,b,c>0$

$\Big(a^7+b^7+c^7\Big)\Big(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac{1}{b^5}+\dfrac{1}{c^5}\Big)\geq \Big(a^5+b^5+c^5\Big)\Big(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\Big)$

\[\sum_{cyc}a^7\sum_{cyc}\frac{1}{a^5}\ge \big(\frac{1}{3}\sum_{cyc}a^5\sum_{cyc}a^2\big) \big(\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}\sum_{cyc}\frac{1}{a^2}\big)=\sum_{cyc}a^5\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}\big(\frac{1}{9}\sum_{cy c}a^2\sum_{cyc}\frac{1}{a^2}\big)\ge \sum_{cyc}a^5\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอเปลี่ยนโจทย์ดีกว่าครับ
กลัวจะร้างเหมือน มาราธอน
ข้อนี้เรียบๆครับ ไม่น่ากลัว เพิ่งคิดได้ร้อนๆเลย (ตอนนี้รู้แล้วว่าการสร้างโจทย์เรียบๆสวยๆ ยากกว่าการสร้างโจทย์แบบข้อข้างบน )


ให้ $a,b,c>0$ โดยที่ $3 \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
จงพิสูจน์ว่า $$a+b+c \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$

\[a+b+c\ge \sqrt{(a+b+c)^2(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3})}\ge \sqrt{(a+b+c)(3)}\ge \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เอาใหม่ ไม่ยาก

$a,b,c>0, ab+bc+ca=1$

$\sqrt{a^2+b^2+c^2+11}\leq\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$

\[\sqrt{a^2+b^2+c^2+11}=\sqrt{\sum_{cyc}(a^2+1)+2\sum_{cyc}(ab+1)}\le \sqrt{\sum_{cyc}(\sqrt{a^2+1})^2+2\sum_{cyc}\sqrt{a^2+1}\sqrt{b^2+1}}=\sum_{cyc}\sqrt{a^2+1}\]

[nooonuii]

มีเทพอสมการมาจุติอีกคนแล้ว ลองเข้าไปเก็บโจทย์ในนี้ดูครับ มีข้อที่ยังไม่มีคนทำเยอะมาก

Inequality Marathon

[Amankris]

คุณ Template ขยันจริงไรจริง นับถือๆ

[LightLucifer]

มีที่ผมยังไม่ได้เอามาลงอีกสักหน่อย ขอเอามาลงตอนนี้เลยแล้วกันนะครับ

1.
ให้ $a,b,c > 0$ และ $k \in{\mathbb{Z^+}}$
จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc}(a^k-b^k)^2+\sum_{cyc}(a^{k-1}+b^{k-1})^2+6(a-b)(b-c)(c-a)(\sum_{cyc}a^{k-2}(\sum_{0\leq i \leq j,i+j=k-2} b^ic^j)) \geq 0$$

2.
ให้ $x,y > 0$ ซึ่ง $x+y=2$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{x^4+x+6}+\frac{1}{y^4+y+6} \ge \frac{1}{x^2+y^2+2}$$

3.
ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $x+y+z=3$
จงหาว่าประจน์ $$\frac{1}{x^4+x+6}+\frac{1}{y^4+y+6}+\frac{1}{z^4+z+6} \ge \frac{3}{x^2+y^2+z^2+5}$$
เป็นจริงหรือไม่ พร้อมพิสูจน์


PS.
ข้อ 1 เป็นโครงงานที่ผมทำที่ รร ถ้าไม่ทำเค้าไม่ให้ผมจบม.6 =="
ข้อ 3 อันนี้บังเอิญลองนั่งนึกเล่นๆ ลองใช้คอมเช็คแล้วมันจริง มั่นใจ 80 % ว่าจริงแต่ผมก็ไม่ชัวเพราะผมก็ทำไม่ได้ =="

[Keehlzver]

ขยายได้ถึงกรณีทั่วไปแล้ว เจ๋งจริงๆ

จะเข้ามาบอกว่าโจทย์สวยมากเลย Light เอ๋ย (โดยเฉพาะข้อ 1)

[LightLucifer]

ที่จริง ถ้าไม่ต้องทำโครงงานก็ไม่ต้องสานต่อ 555+

ถ้าช่วยทำข้อ 3 ให้ Clear ได้จะขอบคุณมาก ติดข้อนี้มาตั้งแต่ตอนระดับชาติละ =="

[PP_nine]

ข้อ 3 โหดจริง