อสมการ

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

Show that for all positive a,b,c

$$(\dfrac{a+2b}{a+2c})^3+(\dfrac{b+2c}{b+2a})^3+(\dfrac{c+2a}{c+2b})^3 \ge 3$$

\[\sum_{cyc}(\frac{a+2b}{a+2c})^3\ge 3(\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{a+2b}{a+2c})^3=3(\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{a}{a+2c}+\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{2b}{a+2c})^3\ge 3(\frac{1}{3}(\frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a^2+2\sum_{cyc}ac})+\frac{1}{3}(\frac{2(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a^2+2\sum_{cyc}ac}))^3=3\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ขอบคุณครับ(เหมือนผิดๆ ไงไม่รู้ )

มีอีก 2 ข้อมาฝากครับ

1. Let a,b,c be positive reals.Prove that

$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1$$

2.Let a,b,c be positive reals a+b+c=1.Show that

$$\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}}$$

โจทย์แนวนี้ที่มีติดรูทผมไม่ค่อยได้เลยอ่ะครับ พอเจอความรู้สึกมันก็คิดไปแล้วว่าทำไม่ได้ เซ็งมากครับ

ปล.คุณ Keehlzver ไป IMO มาใช่ไหมครับเนี่ย

1.\[\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqslant \sum_{cyc}\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}=1\]
2.\[\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\geqslant \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum_{cyc}a(b+c)}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^2}{2\sum_{cyc}ab}}\geqslant \sqrt{\frac{3\sum_{cyc}ab}{2\sum_{cyc}ab}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\]

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

เดี๋ยวเองมาลงให้ก่อนละกันครับพี่จูเนียร์(เพราะช่วงนี้สอบกลางภาค)

3. Show that for all nozero reals a,b,c

$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$$

hide

ให้ $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$ ได้ $xyz=1$

$x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$

$\displaystyle \dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{1}{3}y^2+\dfrac{1}{3}z^2 \ge 2(x^{\frac{8}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}=2x$

ตัวอื่นๆก็ทำเหมือนกันแล้วมาบวกกันให้หมด

$x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$

3.\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}\geqslant \sum_{cyc}(\frac{2a}{b}-1)=2\sum_{cyc}\frac{a}{b}-3\geqslant \sum_{cyc}\frac{a}{b}\]

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

5. Let a,b,c be positive reals. Prove that

$$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)} \ge \dfrac{3}{1+abc}$$

รู้สึกว่าข้อนี้ อยู่ในแบบฝึกหัดของ Hojoo lee ด้วยครับ

อสมการสมมูลกับ
$$\sum_{cyc}(\frac{a+ab+abc+1}{a+ab}) \geqslant 6$$
$$\sum_{cyc}(\frac{a+1}{a+ab}) + \sum_{cyc}(\frac{b(c+1)}{1+b}) \geqslant 3(\sqrt[3]{abc}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc} }) \geqslant 6 $$