มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set

[จูกัดเหลียง]

#75 Thx for your reply
8.Let $a,b,c,d\in \mathbb{R^+}$
Prove $$ \frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge 0$$

My_Soln

$$ \frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge 0$$ $$\Leftrightarrow \frac{3a+c}{a+2b+c}+\frac{3b+d}{b+2c+d}+\frac{3c+a}{c+2d+a}+\frac{3d+b}{d+2a+b}\ge 4$$
But by Cauchy's Engel Form
$$\frac{3a+c}{a+2b+c}+\frac{3b+d}{b+2c+d}+\frac{3c+a}{c+2d+a}+\frac{3d+b}{d+2a+b}\ge \frac{\Big(4(a+b+c+d)\Big)^2}{4(a+b+c+d)^2}=4$$
Which is what we want

[จูกัดเหลียง]

52.Let $a,b,c\in \mathbb{R-R^-}$ $a+b+c\ge 3$
Prove $$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\le 1$$

My_Soln

$$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\le \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-a+3}$$
Use $f(x)=\frac{1}{a^2-a+2}$ Then $f$ is concave

Why?? $f$ is concave

$f^{"}(x)=\frac{2(1-2x)^2-2}{(x^2-x+3)^3}\le 0\leftrightarrow x\ge 0$

By Jensen's Ine
$$ \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-a+3}\le \frac{3}{\Big(\frac{a+b+c}{3}\Big)^2-\frac{a+b+c}{3}+3}$$
It's Remain to show that $$\frac{3}{\Big(\frac{a+b+c}{3}\Big)^2-\frac{a+b+c}{3}+3}\le 1\Leftrightarrow a+b+c\ge 3$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Use $f(x)=\frac{1}{a^2-a+2}$ Then $f$ is concave

ฟังก์ชันนี้ไม่ได้ concave ตลอดช่วงครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ฟังก์ชันนี้ไม่ได้ concave ตลอดช่วงครับ

ทำไมอย่างนั้นอ่ะครับ ผมก็เเสดงให้ดูเเลว้นา = =

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

44.Let $a,b,c\in \mathbb{R^+}$
Prove that $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge 3$$

My_Soln

$a+b+c\le a^2+b^2+c^2$
$$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2-c}$$
It's Remain to show that $$ \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2-c}\ge 3\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a-a^2}{3-a}\ge 0$$
Use $f(x)=\frac{x-x^2}{3-x}$ Then $f$ is Convex by $f^{"}(x)=\frac{-6 (2x^2-7x-5)}{(3-x)^3}>0\leftrightarrow x<\frac{5}{2}$
Then It's cleared!!!

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ทำไมอย่างนั้นอ่ะครับ ผมก็เเสดงให้ดูเเล้วนา = =

diff ถูกแล้วครับแต่

$f''(x)\leq 0 \Leftrightarrow 0\leq x\leq 1$ ซึ่งจะไม่คลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้

โจทย์ของ Vasile เขาปิดช่องทางใช้อสมการง่ายๆไว้หมดแล้วล่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Use $f(x)=\frac{x-x^2}{3-x}$ Then $f$ is Convex by $f^{"}(x)=\frac{-6 (2x^2-7x-5)}{(3-x)^3}>0\leftrightarrow x<\frac{5}{2}$

ลองให้น้องเปิ้ลเช็คแล้วเขาบอกว่าได้ $f''(x)=-\dfrac{12}{(3-x)^3}$ ครับ

ซึ่งมันควรจะเป็น concave function

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลองให้น้องเปิ้ลเช็คแล้วเขาบอกว่าได้ $f''(x)=-\dfrac{12}{(3-x)^3}$ ครับ

ซึ่งมันควรจะเป็น concave function

เปิ้ลไหนครับ
ปล. ขอบคุณที่ชี้เเนะครับ เเต่ $1$ มาจากไหนอ่ะครับ

[nooonuii]

โอยปวดหัว ไม่ได้เช็ควิธีทำใน # 77 ให้ละเอียด

มีแอบวางยาไว้หลายจุดลองไปเช็คเอาเองนะครับ

$f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+3}$

$f'(x)=\dfrac{1-2x}{(x^2-x+3)^2}$

$f"(x)=\dfrac{2(3x^2-3x-2)}{(x^2-x+3)^3}$

$f''(x)\leq 0\Leftrightarrow 3x^2-3x-2\leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}-\sqrt{\dfrac{11}{12}}\leq x\leq \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{11}{12}}$

ซึ่งจะเห็นว่าไม่คลุมทุกกรณีเนื่องจาก $\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{11}{12}}<3$

คำตอบนี้ทั้งคำนวณด้วยมือและเช็คด้วย Maple(น้องเปิ้ล) ครับ

[จูกัดเหลียง]

อ้อ เข้าใจเเล้วครับ ผม diff ผิดเองสินะ 555

[BLACK-Dragon]

6. $a,b,c >0 , a \not= b\not=c $

$$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(a-b)^2} \ge 2$$

My Solution

ข้อนี้เหมือนมีอะไรมาบังตาก็ไม่รู้ครับ ใช้อะไรก็ไม่ออกเลย

$\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=T$

อสมการที่เราต้องการจะพิสูจน์สมมูลกับ

$\displaystyle T^2-2\sum_{cyc} \dfrac{ab}{(c-a)(b-c)} \ge 2$

แต่

$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{ab}{(c-a)(b-c)}= \dfrac{ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -1$

$\Big (\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\Big)^2 \ge 0$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

62.Let $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ and $ a+b+c=3$
Prove $$\frac{1}{6-ab}+\frac{1}{6-bc}+\frac{1}{6-ca}\le \frac{3}{5}$$

My_(Wrong)Soln
let $x=ab,y=bc,z=ca$
Then $x+y+z \le \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$ and $x,y,z<6$
Use $f(x)=\frac{1}{6-x}\rightarrow $ $f$ is concave function
Then By Jensen's Get
$$\frac{1}{6-x}+\frac{1}{6-y}+\frac{1}{6-z}\le \frac{3}{6-(\frac{x+y+z}{3})}\le \frac{3}{5}$$ By use $x+y+z\le 3$

ขอรื้นฟื้นหน่อยนะครับ พอดีช่วงนี้กำลังเล่นกับอสมการอยู่ 55

ผมคิดว่าข้อนี้ เป็น schur's ที่สวยมากครับ

ก่อนอื่นก็จัดการ LHS. ซะก่อน $\dfrac{(6-ab)(6-bc)+(6-bc)(6-ca)+(6-ca)(6-ab)}{(6-ab)(6-bc)(6-ca)}= \dfrac{-12(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)+108}{216-36(ab+bc+ca)+6abc(a+b+c)-a^2b^2c^2} \leqslant \dfrac{3}{5} $

จะได้อสมการสมมูลกับ $-48(ab+bc+ca)+13abc(a+b+c)-3a^2b^2c^2+108 \geqslant 0$ แทน $a+b+c=3$ เข้าไปในอสมการ และหารด้วย 3 ตลอดทั้งสมการ

$-16(ab+bc+ca)+12abc+abc-a^2b^2c^2+36 = 4(-4(ab+bc+ca)+3abc+9)+abc(1-abc) \geqslant 0$

$abc(1-abc) \geqslant 0$ (เงื่อนไข $a+b+c=3$)

พิสูจน์ $9-4(ab+bc+ca)+3abc \geqslant 0$
ให้ $p=a+b+c , q =ab+bc+ca , r=abc$
จะได้อสมการสมมูลกับ $p^3+9r \geqslant 4pq$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ Schur's

[Nostalgius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

27. $a,b,c>0$
$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$$

วิธีสั้นๆนะครับ $$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}$$ $\leqslant$ $$\sqrt{[\frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(b+c)(b+a)}+\frac{2c}{(c+a)(c+b)}][(a+c)+(b+a)+(c+b)]} $$ $$= 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$$ $$\leqslant 3$$ จากการกระจาย