ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ 2

[nooonuii]

ก่อนอื่นต้องบอกก่อนว่าที่ผมใช้ภาษาอังกฤษบ้างไทยบ้าง

เป็นเพราะผมตอบกระทู้ต่างสถานที่กันครับ

ถ้าผมอยู่ที่บ้านผมก็ใช้ภาษาไทยได้

แต่ถ้าอยู่ที่มหาวิทยาลัยผมต้องใช้ภาษาอังกฤษ

เพราะเครื่องคอมฯไม่มีแป้นพิมพ์ภาษาไทยครับ

-----------------------------------------------------

ข้อนี้ trick อยู่ที่การจัดรูปก่อนใช้ AM-GM ครับ

อสมการแรกลองจัดรูปให้ได้แบบนี้ครับ

$n(n+1)^{\frac{1}{n}}\leq (1+1) + (1+\dfrac{1}{2})+\cdots + (1+\dfrac{1}{n})$

แล้วจะเห็นอสมการ AM-GM ลอยมาเลยครับ

อสมการที่สองก็ใช้ trick เดียวกัน

[LightLucifer]

อีกข้อครับๆ ข้อนี้ไม่กำหนดวิธีทำ

$Let \ a_1,a_2,...,a_k \ be \ real \ number \ satisfying \ the \ following \ two \ condition$
$(i) \ 0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ... \leqslant a_k$
$(ii) \ a_1+a_2+...+a_k=1$
$Prove \ that \ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leqslant \frac{1}{k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ for \ n = 1,2,3,...,k$

[nooonuii]

ทำตรงๆครับ เปลี่ยนเป็นพิสูจน์อันนี้แทน

$\dfrac{a_1+\cdots a_n}{n}\leq \dfrac{a_1+\cdots+a_k}{k}$

เมื่อจัดรูปแล้วจะได้

$n(a_{n+1}+\cdots+a_k)\geq (k-n)(a_1+\cdots +a_n)$

คราวนี้ลองใช้ประโยชน์จากเงื่อนไขแรกครับ

[LightLucifer]

ช่วยข้อนี้ด้วยครับๆ

ให้ $S=a_1+a_2+...+a_n$ จงพิสูจน์ว่า
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_i}{S-a_i}\geqslant \frac{n}{n-1}$
ผมทำได้แต่ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{S-a_i}{a_i}\geqslant (n)(n-1)$ อ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ช่วยข้อนี้ด้วยครับๆ

ให้ $S=a_1+a_2+...+a_n$ จงพิสูจน์ว่า
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_i}{S-a_i}\geqslant \frac{n}{n-1}$
ผมทำได้แต่ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{S-a_i}{a_i}\geqslant (n)(n-1)$ อ่ะครับ

First Solution : Cauchy-Schwarz inequality (twice!)

$LHS=\sum\dfrac{a_i^2}{a_iS-a_i^2}\geq ... \geq\dfrac{n}{n-1}$

Second Solution : AM - HM inequality

$LHS + n = \sum\Big(\dfrac{a_i}{S-a_i}+1\Big)=\sum\dfrac{S}{S-a_i}=S\sum\dfrac{1}{S-a_i}$

Let $x_i=S-a_i$. Then use AM-HM inequality on $x_1,...,x_n$.

[LightLucifer]

อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับ
มีที่สงสัยอีกข้อครับ

ถ้า $a>1,n\in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่า
$$a+a^2+...+a^{2n}\leqslant n(a^{2n+1}+1)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ถ้า $a>1,n\in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่า
$$a+a^2+...+a^{2n}\leqslant n(a^{2n+1}+1)$$

ใช้ divide and conquer ครับ

$a^k+a^{2n+1-k}\leq a^{2n+1}+1$

ทุกค่า $k=1,...,n$

[LightLucifer]

งงอ่ะครับ

แล้วตัว m มาจากไหนอ่ะครับ ??

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

งงอ่ะครับ

แล้วตัว m มาจากไหนอ่ะครับ ??

$m=n$ my mistake!

[LightLucifer]

ผมยังมองไม่ออกเลยอ่ะครับว่าจะทำยังไงต่ออ่ะรบกวนช่วยแนะนำหน่อยครับ T_T

[winlose]

Hint

จากของพี่ nooonuii
$k=1$
$a^{2n}\geqslant 1$
$a^{2n}(a-1)\geqslant(a-1)$
$\therefore a^{2n+1}+1\geqslant a^{2n}+a$
$k=2,3,..$ ก็ทำคล้ายกัน จากนั้นนำมาบวกกันให้หมด

[LightLucifer]

อ๋อขอบคุณมากครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

คือตอนนี้มกำลังมึนๆกับพวกอสมการ Holder's, Chebychev's, Minkowski's, Power mean อ่ะครับ รบกวนช่วยสอนพวกเทคนิคการพิสูจน์ของอสมการพวกนี้หน่อยนะครับ
ขอข้อนี้ก่อนนะครับ

กำหนดให้ $a,b\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า
$$(a+b)(a^3+b^3)(a^7+b^7)\leqslant 4(a^{11}+b^{11})$$

Rearrangement Inequality
\[(a^{11}+b^{11}-a^{10}b-ab^{10})+(a^{11}+b^{11}-a^8b^3-a^3b^8)+(a^{11}+b^{11}-a^7b^4-a^4b^7)\geqslant 0\]
(เทคนิค:ทำย้อนกลับ)

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับ
แล้วถ้าเป็นข้อนี้อ่ะครับ เอาแบบไม่ใช้โคชีอ่ะครับคิดไม่ออกอ่ะ

กำหนดให้ $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ จงพิสูจน์ว่า
$$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2b}+\frac{c^2+a^2}{2a}$$

\[\sum_{cyc}a(b+c)(b-c)^2\geqslant 0\]

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมขอ Chebychev อีกข้อนะครับ ยังไม่คล่องพอเลย

ให้ $a,b,c\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า
$$(ab+bc+ca)(a+b+c)^4\leqslant27(a^3+b^3+c^3)^2$$

Power-mean Inequality
\[27(a^3+b^3+c^3)^2=243(\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}} )^6\geqslant 243(\frac{a+b+c}{3})^6=(\frac{(a+b+c)^2}{3})(a+b+c)^4\geqslant (ab+bc+ca)(a+b+c)^4\]