ขอโจทย์ AM-GM หน่อยครับ

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. จงตรวจสอบว่า $\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

$Solution$

$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}=x^{2551}+\frac{2551}{2552x}$
$~~~~~~~~~~~~~=x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}$

จาก AM-GM;$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{\frac{1}{2552^{2551}}}$

$\therefore \frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$ #

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

3. จงตรวจสอบว่า $\sum_{cyc} \frac{a+b}{b+c} \geqslant 3 $
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

$\frac{\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}}{3}\geqslant 1$
$\therefore \sum_{cyc} \frac{a+b}{b+c} \geqslant 3 $ #

ส่วนข้อสองคิดไม่ได้อ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

$ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$

$ (x_1+1) + (x_2+1) + (x_3+1) +...+(x_{2552}+1) =1 + 2552 = 2553$ .....(*)


$ \because \ \ \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} < (x_1+1) + (x_2+1) + (x_3+1) +...+(x_{2552}+1) = 2553$

$ ( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552})^{2552} < 2553^{2552}$

จะได้ $ \ \ 2553^{2552} > ( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552})^{2552} $ ....(**)



$ AM-GM \ \ \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552} \geqslant \sqrt[2552]{\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}} $

$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant \left(\sqrt[2552]{\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}}\right)^{2552} $

$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant {\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}} $

$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant (1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}}) $ ....(***)

จาก (**) (***) $ \ \ 2553^{2552} > \left( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552}\right)^{2552} > \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant (1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}}) $


ดังนั้น $(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$ จึงไม่เป็นจริง

[Keehlzver]

ผมว่าข้อ 2 น่าจะจริงนะครับ

เรา Homogenize จาก $x_1+x_2+...+x_{2552}=1$ จะได้ อสมการ
$\Pi_{cyc}(1+\frac{x_1+x_2+...+x_{2552}}{x_1}) \geq 2553^{2552}$

ในเเต่ละวงเล็บจากอสมการ AM-GM ใช้เเบบ $n+1$ พจน์ จะมี $x_1$ ปรากฏอยู่ $n$ ครั้งในฝั่งขวา
$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_1}=1+\frac{x_1}{x_1}+\frac{x_2}{x_1}+...+\frac{x_n}{x_1} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_1^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$

$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_2}=1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_2}+...+\frac{x_n}{x_2} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_2^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$

ในทำนองเดียวกันถึงสมการที่ $n$
$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_n}=1+\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_n}+...+\frac{x_n}{x_n} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_n^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$

เเล้วจับสมการทั้ง $n$ สมการมาคูณด้วยกัน จะได้ $RHS \geq (n+1)^n(\frac{(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^n}{x_1^n \cdot x_2^n \cdot ... \cdot x_n^n})^{\frac{1}{n+1}}=(n+1)^n$ สุดท้ายก็เเทนค่า $n=2552$ ก็ได้จะว่า $RHS \geq 2553^{2552}$ ตามต้องการครับ ถ้าผมทำผิดยังไงก็ขออภัยด้วยครับ

ทิ้งโจทย์ไว้ให้คิดครับ ตัวเเปรทุกข้อเป็นจำนวนจริงบวกนะครับ
1) $abc \geq 3\sqrt{3}$ เมื่อ $abc \geq a+b+c$
2) $\sum_{cyc}x^2 \geq \sum_{cyc}xy$
3) $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$
4) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}a^2b$
5) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}ab^2$
6) $\Pi_{cyc}(a-1+\frac{1}{b}) \leq 1$ เมื่อ $abc=1$
7) $\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}} \geq \frac{4}{3}$ เมื่อ $abc=8$
8) $\sum_{cyc}\sqrt{x+yz} \geq \sqrt{xyz}+\sum_{cyc}\sqrt{x}$ เมื่อ $\sum_{cyc}\frac{1}{x}=1$
9) $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+a_i} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i+n}{4}$ เมื่อ $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n=1$
10) $\sum_{cyc}\sqrt{x} \geq \sum_{cyc}xy$ เมื่อ $x+y+z=3$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

$Solution$

$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}=x^{2551}+\frac{2551}{2552x}$
$~~~~~~~~~~~~~=x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}$

จาก AM-GM;$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{\frac{1}{2552^{2551}}}$

$\therefore \frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$ #

ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยได้ไหมครับ

ปล. มือใหม่หัด อสมการ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

$Solution$

$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}=x^{2551}+\frac{2551}{2552x}$
$~~~~~~~~~~~~~=x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}$



จาก AM-GM;$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{\frac{1}{2552^{2551}}}$



$\therefore \frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$ #

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยได้ไหมครับ

ปล. มือใหม่หัด อสมการ

บอกก่อนนะครับ ข้อความ #17 ข้างบนเป็นครั้งแรกที่ทำเรื่อง AM-GM

หลังจากแอบเข้ามาดู ก็ลักจำเอา

ข้อที่ถาม สองบรรทัดแรก ไม่น่าจะมีปัญหา ผมต่อบรรทัด 3 ตามความเข้าใจของผมนะครับ


$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}=x^{2551}+\frac{2551}{2552x}$
$~~~~~~~~~~~~~=x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}$


จาก AM-GM;$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{
x^{2551}\cdot \overbrace{\frac{1}{2552x}\frac{1}{2552x}....}^{2551 ตัว}}$


$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{x^{2551}\cdot (\frac{1}{2552^{2551}})\cdot (\frac{1}{x^{2551}}})$




$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{\frac{1}{2552^{2551}}}$



$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \sqrt[2552]{\frac{1}{2552^{2552}}\cdot 2552}$


$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \frac{1}{2552}\sqrt[2552]{2552}$


$\frac{x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}}{2552}\geqslant \frac{\sqrt[2552]{2552}}{2552}$


$x^{2551}+\overbrace{\frac{1}{2552x}+\frac{1}{2552x}+....}^{2551 ตัว}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$


$\therefore \frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$ #

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. จงตรวจสอบว่า $\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ
จาก$2552x^{2552}+2551=2552x^{2552}+\overbrace{1+1+...+1}^{2551 จำนวน} $ รวมทั้งหมด $2552$ จำนวน
จะได้ว่า $AM =\frac{2552x^{2552}+2551}{2552} $
และ$GM=\sqrt[2552]{2552x^{2552}} =x\times \sqrt[2552]{2552} $
จาก$AM \geqslant GM$ จะได้ว่า
$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552}\geqslant x\times \sqrt[2552]{2552}$.....แล้วย้าย$x$ไปอีกข้างหนึ่งก็จะได้ว่า
$\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

3. $x \in R \ \ \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$

ข้อนี้ผมมองแบบนี้ครับ
$x^2+2=(x^2+1)+1$
จะได้$\frac{(x^2+1)+1}{2} \geqslant \sqrt{x^2+1} $
จัดเทอมใหม่เป็น
$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$
ช่วยคนแก่คนนี้ดูหน่อยเถอะครับ ลองเข้ามาทำโจทย์ง่ายๆก่อน ยากๆมันเหมือนเกินอายุสมองไปแล้วครับ55555

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

ข้อนี้ได้ไอเดียจากคุณKeehlzver... จากที่วันก่อนนั่งทำอยู่ค่อนวัน มันไม่ออกด้วยการแปลง
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}}) =\frac{(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{2552})}{x_1.x_2...x_{2552}} $แล้วพยายามใช้วิธี$a>b$และ$c>d$แล้ว$ac>bd$ จึงต้องหาว่า$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{2552}) \geqslant m$
และหา$\frac{1}{x_1.x_2...x_{2552}} \geqslant n $ แล้วจึงหาค่าที่ต้องการได้
นั่งมองว่า $\ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$น่าจะใช้ประโยชน์อะไรได้บ้าง ก็เห็นวิธีการใช้ของคุณKeehlzver
ผมหาค่าของ $\frac{1}{x_1.x_2...x_{2552}} \geqslant 2552^{2552} $ ก็ลองใช้วิธีแทนค่าลงไปเพื่อหาค่าของ$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{2552})$
จะได้ว่า$(1+x_1)=(x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}+x_1) \geqslant 2553.\sqrt[2553]{x_1.(x_1.x_2...x_{2552})} \geqslant 2553.\sqrt[2553]{x_1}.\sqrt[2553]{x_1.x_2...x_{2552}} $
ทำแบบนี้กับทุกพจน์จะได้ว่า
$(1+x_2)=(x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}+x_2) \geqslant 2553.\sqrt[2553]{x_2}.\sqrt[2553]{x_1.x_2...x_{2552}} $
$(1+x_3)=(x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}+x_3) \geqslant 2553.\sqrt[2553]{x_3}.\sqrt[2553]{x_1.x_2...x_{2552}} $
จนถึง
$(1+x_{2552})=(x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}+x_{2552}) \geqslant 2553.\sqrt[2553]{x_{2552}}.\sqrt[2553]{x_1.x_2...x_{2552}} $
จับคูณกันได้
$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{2552}) \geqslant 2553^{2552}.(\sqrt[2553]{x_1}.\sqrt[2553]{x_2}...\sqrt[2553]{x_{2552}}).(\sqrt[2553]{x_1.x_2...x_{2552}} )^{2552} \rightarrow \geqslant 2553^{2552}.(x_1.x_2...x_{2552})^\frac{1}{2553} .(x_1.x_2...x_{2552})^\frac{2552}{2553} \rightarrow 2553^{2552}.(x_1.x_2...x_{2552}) $
ลองย้าย$x_1.x_2...x_{2552}$ไปอีกข้าง มันได้ตามที่โจทย์ถามพอดีเลย
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$....จึงเป็นจริง
ไม่รู้ว่าจะทำตรงไหนผิดบ้าง วานท่านผู้รู้ช่วยดูให้ด้วยครับ อายุมากแล้วสมองก็เลยช้า คิดตกๆหล่นๆประจำ โจทย์ข้อนี้เล่นเอาคนแก่หัวหมุนไปหนึ่งวันหนึ่งคืน

[Keehlzver]

ไม่มีคนมาเชคให้ คุณหมอกิตติทำถูกเเล้วเเหละครับ