สมการสมมูล

[ไซโคลน]

คือผมอยากทราบว่าพวกสมการสมมูลมันมีวิธีหายังไงหรอครับ
อยากให้แนะนำเว็บหรือตัวอย่างสัก2-3ข้ออะครับ

[nooonuii]

หมายถึงอสมการหรือเปล่าครับ เห็นตั้งไว้ในห้องนี้

[ไซโคลน]

ครับ สมการหรืออสมการก็ได้ครับ

[nooonuii]

มันก็สมการหรืออสมการที่สามารถจัดรูปไปหากันได้ โดยใช้กระบวนการทางพีชคณิต

เช่น สมการ $x+y=1$ กับ $2x+2y=2$ สมมูลกัน เพราะอันที่สองก็คือสมการแรกคูณตลอดด้วยสองทั้งสองข้าง

อสมการ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ กับอสมการ $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ ก็สมมูลกัน

ลองกระจายอสมการทางซ้ายออกมาดูสิครับ

[ไซโคลน]

ท่างั้นช่วยหาสมการสมมูลพวกนี้ให้หน่อยครับ อยากได้เป็นแนวทาง
1. ให้ $a_1,a_2,x \in \mathbb{R}$ โดยที่ $0<a_1<x<a_2$ จงแสดงว่า \[\frac{1}{x}+\frac{1}{a_1+a_2-x} < \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\]
2. ถ้า $a\geq b$ และ $x\geq y$ จงแสดงว่า $ax+by\geq ay+bx$
3. กำหนดให้ $0<x<1$ และ $0<y<1$ จงแสดงว่า $0<x+y-xy<1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

ท่างั้นช่วยหาสมการสมมูลพวกนี้ให้หน่อยครับ อยากได้เป็นแนวทาง
1. ให้ $a_1,a_2,x \in \mathbb{R}$ โดยที่ $0<a_1<x<a_2$ จงแสดงว่า \[\frac{1}{x}+\frac{1}{a_1+a_2-x} < \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\]

$\dfrac{(a_1+a_2-x)+x}{(a_1+a_2-x)x}<\dfrac{a_2+a_1}{a_1a_2}$

$\dfrac{a_1+a_2}{(a_1+a_2-x)x}<\dfrac{a_2+a_1}{a_1a_2}$

$\dfrac{1}{(a_1+a_2-x)x}<\dfrac{1}{a_1a_2}$

$a_1a_2<x(a_1+a_2-x)$

$a_1a_2-x(a_1+a_2-x)<0$

$a_1a_2-(a_1+a_2)x+x^2<0$

$(a_1-x)(a_2-x)<0$

อสมการทุกอสมการสมมูลกันครับ

แต่อันสุดท้ายดีที่สุดเพราะเห็นได้ชัดเจนว่าอสมการเป็นจริง

ดังนั้นถ้าอสมการนี้จริง ทุกอสมการก็จะจริงหมด เพราะมันสมมูลกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

2. ถ้า $a\geq b$ และ $x\geq y$ จงแสดงว่า $ax+by\geq ay+bx$

$ax+by\geq ay+bx$

$ax+by-ay-bx\geq 0$

$(a-b)x+(b-a)y\geq 0$

$(a-b)(x-y)\geq 0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

3. กำหนดให้ $0<x<1$ และ $0<y<1$ จงแสดงว่า $0<x+y-xy<1$

ข้อนี้ให้ลองคิดเองครับ คิดว่าน่าจะเข้าใจวิธีคิดแล้ว