มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set

[Amankris]

#15
ลองเขียนออกมาในรูป Original สิ

#10
แล้วไงต่อ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 10 ผมทำถูกมั้ยอ่ะครับ ช่วยดูด้วยนะครับ : )

$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{2}{3}(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2})$$
$$\frac{2}{3}(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2})\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 1$$
$$\therefore \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant 1 $$

[Amankris]

#17
$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$ ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#15
ลองเขียนออกมาในรูป Original สิ

#10
แล้วไงต่อ

#10 ไปไม่เป็นเเล้วครับ 555+
#18 ถ้าทำเป็น

เเบบนี้

WLOG $a\ge b\ge c\ge d$
$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(a+d)}+\frac{(a-d)^2}{(a+b)(d-a)}$$
$$\ge \frac{(a-b+b-c+c-d+a-d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}$$
$$=\frac{(2a-2d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}\ge 0$$

ปล. #17 ผมไม่เข้าใจบรรทัดเเรก ช่วยอธิบายให้ฟังได้ไหมครับ
ผมต่อให้ คุณ Art-Ty นะครับ

Art-Ty's_Soln

$$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2+c^2}\ge \frac{3}{2}$$ $$\Leftrightarrow (\sum_{cyc} a^2)(\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+b^2})\ge \frac{9}{2}$$
Which is true by A.M.-H.M.

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#18 ถ้าทำเป็น

เเบบนี้

WLOG $a\ge b\ge c\ge d$
$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(a+d)}+\frac{(a-d)^2}{(a+b)(d-a)}$$
$$\ge \frac{(a-b+b-c+c-d+a-d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}$$
$$=\frac{(2a-2d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}\ge 0$$

ตอบเหมือน #14 ครับ

[จูกัดเหลียง]

เงื่อนไขที่ว่าหมายถึงเศษเเละส่วนต้องเป็นจริงบวกปะครับ หรือมีอย่างอื่อีก

[~ArT_Ty~]

ก็บรรทัดแรกอ่ะครับ ใช้ AM-GM กับ $ab,bc,ca$ ตรงตัวส่วนอ่ะครับ

แต่สุดท้ายก็ผิด =="

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ก็บรรทัดแรกอ่ะครับ ใช้ AM-GM กับ $ab,bc,ca$ ตรงตัวส่วนอ่ะครับ

แต่สุดท้ายก็ผิด =="

เเจ๋วดีครับ

#20 ผม WLOG $a\ge b\ge c\ge d$ เเล้วได้ $a-b,b-c,c-d,a-d\ge 0$
เเล้วใช้โคชีอ่ะครับ หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป

[Keehlzver]

ปัญหาคือมัน WLOG $a\geq b \geq c \geq d$ ไม่ได้น่ะสิครับเพราะอสมการไม่มีสมมาตรในตัวแปร
(ลอง $(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$ ดู มันต่างจาก $(a,b,c,d)=(2,1,3,4)$ ครับ เพราะงั้นมันไม่สมมาตร)
อีกอย่างคือตรงก้อนตัวเศษอ่ะครับ มันมีพจน์ $(d-a)$ ปรากฏ ซึ่ง $d-a \leq 0$
เท่าที่ผมลองๆคิดดูคิดได้แบบนี้ครับ คาดว่ามีคนคิดได้แบบเดียวกัน

Solution A41

โดยไม่เสียนัย สมมติให้ $max(a,b,c,d)=a$
\[\begin{array}{cl}
& \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b} \\
& = \frac{a-b}{b+c}+\frac{d-a}{a+b}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a} \\
& \geq \frac{a-b}{a+b}+\frac{d-a}{a+b}+\frac{b-c}{d+a}+\frac{c-d}{d+a} \\
& = \frac{d-b}{a+b}+\frac{b-d}{d+a} \\
& = (d-b)(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{d+a}) \\
& = \frac{(d-b)^2}{(a+b)(d+a)} \\
& \geq 0 \\
\end{array} \]

ลืมบอกไปว่า Cauchy ในรูปของ Engel form ตัวส่วนต้องเป็นจำนวนจริงบวกครับ
เพราะรูปแบบใน Original ของมันมาจากการใช้ square root ทำให้ใต้รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
แต่บังเอิญว่าใต้รากตัวนั้นกลับเป็นตัวส่วนด้วย เลยทำให้ตัวส่วนไม่มีสิทธิเป็นศูนย์ ก็เลยต้องเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น

เพราะฉะนั้นต้องแสดงให้ได้ว่า $(a-b)(b+c)$ , $(b-c)(c+d)$ , $(c-d)(d+a)$ , $(d-a)(a+b)$ เป็นจำนวนจริงบวกครับ

[จูกัดเหลียง]

เเล้ว $max(a,b,c,d)=a$ คืออะไรอะครับ
ใช่เเบบนี้รึเปล่า $a\ge b,c,d$

เเล้วก็ ช่วยพิสูจน์

hide

$\sum_{cyc} a^4\ge\sum_{cyc} a^2$

หน่อยได้ไหมครับ เมื่อ $a^2+b^2+c^2=a+b+c$

[nooonuii]

ผมลงเฉลยบางส่วนไว้ใน #3 ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมลงเฉลยบางส่วนไว้ใน #3 ครับ

Nesbitt's inequality คืออะไรอ่ะครับ
เเล้ว Holder ใช้ยังไงเหรอครับ (ผมอ่านเเล้วงงๆ สัญญลักษณ์)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Nesbitt's inequality คืออะไรอ่ะครับ
เเล้ว Holder ใช้ยังไงเหรอครับ (ผมอ่านเเล้วงงๆ สัญญลักษณ์)

Nesbitt's inequality ถ้าเรียกมาให้ดูก็คงรู้จักกันทุกคน แต่หลายคนยังไม่รู้จักชื่อ

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$

อสมการ Holder ที่ผมใช้เป็นอันนี้ครับ

$(a_1^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+\cdots+c_n^3)\geq (a_1b_1c_1+\cdots+a_nb_nc_n)^3$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Nesbitt's inequality ถ้าเรียกมาให้ดูก็คงรู้จักกันทุกคน แต่หลายคนยังไม่รู้จักชื่อ

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$

อสมการ Holder ที่ผมใช้เป็นอันนี้ครับ

$(a_1^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+\cdots+c_n^3)\geq (a_1b_1c_1+\cdots+a_nb_nc_n)^3$

ขอบคุณมากครับ get(บางส่วน) ละ 555+
เเล้วถ้าผมเพิ่มดีกรีที่ใช้ Holder ไปถึง n อะครับ มันจะเป็นเเบบนี้หรือเปล่าครับ
$(a_1^n+....+a_n^n)(b_1^n+...+b_n^n)(c_1^n+..+c_n^n)\ge (a_1b_1c_1+...+a_nb_nc_n)^n$
เเละ ใช้ตัวเเปรได้กี่ตัวเหรอครับ ขอบคุณไว้ล่วงหน้าเลยครับ เดี๋ยวกลับมาดูใหม่

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

6. $a,b,c\in\mathbb{R},$ pairwise distinct

$$\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$$

My Solution:

ให้ $a+b+c=S$
$\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$
$\leftrightarrow \Big(\dfrac{a+b+c-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{a+b+c-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{a+b+c-a-b}{a-b}\Big)^2\ge 2$
$\leftrightarrow \Big(\dfrac{S-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-a-b}{a-b}\Big)^2\ge 2$
ให้ $\dfrac{S-2b}{b-c}=x,\dfrac{S-2c}{c-a}=y,\dfrac{S-2a}{a-b}=z$
จะได้
$xyz=(x+2)(y+2)(z+2)\rightarrow -2(xy+yz+zx)=4(x+y+z)+8$
พิจรณา
$\Big(\dfrac{S-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-a-b}{a-b}\Big)^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$
$=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+3=(x+y+z)^2+6(x+y+z)+11=(x+y+z+3)^2+2 \ge 2 \ \ \ \square$