โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[nooonuii]

$a>0$

$(a+4)^{2011}+(a+1)^{2011}\geq (a+2)^{2011}+(a+3)^{2011}$

[LightLucifer]

พิสูจน์
$4^r+1^r\ge3^r+2^r$ ได้ไม่ยากโดย induction
$\binom{2011}{r}a^{2011-r}4^r+\binom{2011}{r}a^{2011-r}1^r \ge \binom{2011}{r}a^{2011-r}3^r+\binom{2011}{r}a^{2011-r}2^r$
$\sum_{r = 0}^{2011} \binom{2011}{r}a^{2011-r}4^r+\sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}1^r \ge \sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}3^r+\sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}2^r$
$(a+4)^{2011}+(a+1)^{2011} \ge (a+3)^{2011}+(a+2)^{2011}$

[LightLucifer]

ข้อต่อไปข้อนี้แล้วกันนะครับ ดูผิวๆเหมือนจะยาก แต่จริงๆแล้วไม่ยากครับ

Let $a,b,c>0$ for which $a+b+c=3$
Prove that
\[3 \ge \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4}\]

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อต่อไปข้อนี้แล้วกันนะครับ ดูผิวๆเหมือนจะยาก แต่จริงๆแล้วไม่ยากครับ

Let $a,b,c>0$ for which $a+b+c=3$
Prove that
\[3 \ge \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4}\]

my_soln

by Chebyshev $$3(a^2(1)+b^2(b)+c^2(c^2)\geqslant (b+c^2+1)(a^2+b^2+c^2))$$
$$\Rightarrow$$ $$a^2+b^3+c^4\geqslant (b+c^2+1)$$ $$\because$$ $$a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$
so $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}\leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}$$
in the same we get that $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4} \leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}+\frac{c+a+ca}{c+a^2+1}+\frac{a+b+ab}{a+b^2+1} ...(*)$$
and consider $$b+c+bc\leqslant \frac{4(b+c)+(b+c)^2}{4},\frac{1}{b+c^2+1} \leqslant \frac{3}{(b+c+1)(c+2)}$$ by Chebyshev and Am.-Gm. inequality
and we know that $$\frac{12(b+c)^2+3(b+c)^2}{4(b+c+1)(c+2)}\leqslant 1$$
Then by ..(*) $$3\geqslant \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{a^2+c^3+b^4}$$
Which is true

[LightLucifer]

อสมการมันไม่ symetric ครับ เอาตัวแปรมาเรียงไม่ได้

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อสมการมันไม่ symetric ครับ เอาตัวแปรมาเรียงไม่ได้

ขอ Hint เล็กน้อยได้ไหมครับ
มองไม่ออกจริงๆ

[LightLucifer]

ลองใช้โคชีกับก้อนเศษดูครับ

[nooonuii]

โจทย์แต่งเอง ที่ไม่ยากมากผมเติมให้ได้เรื่อยๆเลยนะ ถ้ามีคนอยากทำ

$a,b,c>0$

$\dfrac{a}{b^2+7bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+7ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+7ab+b^2}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณครับ
ว่าเเต่ผมอยากพิสูจน์ว่า $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \leqslant 3$ เเละ $\frac{1}{b+c^2+1}+\frac{1}{a+b^2+1}+ \frac{1}{c+a^2+1} \leqslant 1$ จึงจะสรุป โจทย์ของคุณ LightLuciferได้อ่ะครับ โปรดชี้เเนะ

[LightLucifer]

#38
โดยโคชี
$\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+7bc+c^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{ab^2+7abc+ac^2} \ge
\frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}ab^2+21abc+\sum_{cyc}ac^2}\ge\frac{1}{a+b+c}$
$\leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge \sum_{cyc}ab^2+21abc+\sum_{cyc}ac^2$
$\sum_{cyc}a^3+2\sum_{cyc}ab^2+2\sum_{cyc}ac^2 \ge 15abc$
เป็นจริงโดย AM-GM
#39
ผมก็ไม่แน่ใจนะครับ
แต่ดูๆแล้วคงหนีไม่พ้นต้องโคชีตัวเศษอ่ะครับ

HINT

$(a^2+b^3+c^4)(b+2)\ge(a+b^2+c^2)^2$

ปล. ก้อนแรกมันไม่จริงนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อต่อไปข้อนี้แล้วกันนะครับ ดูผิวๆเหมือนจะยาก แต่จริงๆแล้วไม่ยากครับ

Let $a,b,c>0$ for which $a+b+c=3$
Prove that
\[3 \ge \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4}\]

$a^2+b^2+c^2=a\cdot a+b^{3/2}\cdot b^{1/2}+c^2\cdot 1\leq \sqrt{(a^2+b^3+c^4)(a^2+b+1)}$

ดังนั้น

$\sum_{cyc}\dfrac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}\leq \sum_{cyc}\dfrac{(a^2+b+1)(b+c+bc)}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า


$\sum_{cyc}(a^2+b+1)(b+c+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$

$\sum_{cyc}(a^2+b+1)(3-a+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$

หลังจากกระจายจะต้องพิสูจน์ว่า

$3(a^2+b^2+c^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)-(a^3+b^3+c^3)+abc(a+b+c)+15\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$

ซึ่งเป็นจริงจาก

1. $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=3\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

2. $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

3. $abc(a+b+c)\leq \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2\leq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

4. $15\leq \dfrac{5}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

ข้อนี้ต้องออกแรงเยอะมาก คิดว่าคงมีวิธีที่ดีกว่านี้

[nooonuii]

ต่อให้ครับ

$a,b,c>0,a+b+c=2$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+8abc\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

[จูกัดเหลียง]

คือ ช่วยลงโจทย์อื่นก่อนได้ไหมครับ
ผมทำเเล้วมันกลับด้าน = =

[nooonuii]

1. $a,b,c>0$

$\dfrac{a^2-bc}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2}\geq 0$

2. $a,b,c\in (0,1]$

$\dfrac{a}{1+b+ca}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\leq 1$

3. $n$ เป็นจำนวนนับ

$\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$

[Keehlzver]

ข้อบนของพี่ Noonuii

ให้ WLOG; $c=min(a,b,c)$

อสมการสมมูลกับ $(a+b-c)(a-b)^2+c(b-c)(a-c)\geq 0$