โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 1. นิยามให้ $S_{n}=a^n+b^n+c^n$ โดยที่ $a,b,c > 0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{(S_{5}+S_{4}+S_{2})(S_{4}+S_{2}+S_{1})}{(ab+bc+ca)^3}\geq 3$

Solution

เยี่ยมครับ คาระวะ 10 จอกเลย พี่ Keehlzver คิดได้ไงอ่ะครับงดงามมาก

$9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) \geq \left(\,ab+bc+ca\right)^3$

โดย Cauchy-Schwarz

$\dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{(ab+bc+ca)^3} \geq \dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{\left(\,3(a^3+b^3+c^3)\right) ^2}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq \dfrac{27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq 3$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ลองทำโจทย์ของผมดูครับ ไม่ยากเท่าการทำใจรอให้น้ำลดแน่นอนครับ

ข้อ 5. $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{2}{(a+b)^2+2ab}+\frac{2}{(b+c)^2+2bc}+\frac{2}{(c+a)^2+2ca}\geq \frac{2(a^4-b^4)}{(a^3-b^3)(a^3+b^3)}+\frac{2(b^4-c^4)}{(b^3-c^3)(b^3+c^3)}+\frac{2(c^4-a^4)}{(c^3-a^3)(c^3+a^3)}$

(ปล.ผมอยู่ต่างจังหวัด เข้าเว็บลำบากมาก )

จับคู่ก่อน จะแสดงว่า $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{2}{(a+b)^2+2ab}\geqslant \frac{2(a^4-b^4)}{(a^3-b^3)(a^3+b^3)} $แต่จาก $(a-b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{2}{(a+b)^2+2ab} \geqslant \frac{1}{a^2+ab+b^2}\Leftrightarrow \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{2}{(a+b)^2+2ab} \geqslant \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{a^2+ab+b^2}= \frac{2(a^2+c^2)}{(a^2-ac+c^2)(a^2+ac+c^2)}=\frac{2(a^4-c^4)}{(a^3-c^3)(a^3+c^3)} $
ในทำนองเดียวกัน.....จะได้ $\sum_{cyc}(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{2}{(a+b)^2+2ab})\geqslant \sum_{cyc}\frac{2(a^4-b^4)}{(a^3-b^3)(a^3+b^3)} $

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ลองทำโจทย์ของผมดูครับ ไม่ยากเท่าการทำใจรอให้น้ำลดแน่นอนครับ
ข้อ 6. $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}+\sqrt{2b^4+2b^2c^2+2c^4}+\sqrt{2c^4+2c^2a^2+2a^4} \geq \sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}+\sqrt{\frac{bc(b^2+c^2)^2}{(b+c)^2}+\frac{b^5-c^5}{b-c}}+\sqrt{\frac{ca(c^2+a^2)^2}{(c+a)^2}+\frac{c^5-a^5}{c-a}}$

(ปล.ผมอยู่ต่างจังหวัด เข้าเว็บลำบากมาก )

จะแสดงว่า$\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}\geqslant \sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}$ กระจาย $\Leftrightarrow (a^3-b^3)^2\geqslant 0$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\sum_{cyc}\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}$
ข้อนี้ดูเหมือนเละแต่กระจายออกมาสวย คุณ Keehlzver เอาโจทย์มาจากที่ไหนหรอครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

จะแสดงว่า$\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}\geqslant \sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}$ กระจาย $\Leftrightarrow (a^3-b^3)^2\geqslant 0$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\sum_{cyc}\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}$
ข้อนี้ดูเหมือนเละแต่กระจายออกมาสวย คุณ Keehlzver เอาโจทย์มาจากที่ไหนหรอครับ

ไวจริงครับ กำลังจะโำพสต์เลย

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 4. $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}+\dfrac{(b^3+c^3)(b+c)}{(b^3-c^3)(b-c)}+\dfrac{(c^3+a^3)(c+a)}{(c^3-a^3)(c-a)} \geq 3+\dfrac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}+\dfrac{bc(b+c)^2}{(b-c)^2(2b^2-bc+2c^2)}+\dfrac{ca(c+a)^2}{(c-a)^2(2c^2-ca+2a^2)}$

ผมพิสูจน์ได้แค่อันนี้อ่ะครับ

$$\dfrac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}+\dfrac{(b^3+c^3)(b+c)}{(b^3-c^3)(b-c)}+\dfrac{(c^3+a^3)(c+a)}{(c^3-a^3)(c-a)} \geq \dfrac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}+\dfrac{bc(b+c)^2}{(b-c)^2(2b^2-bc+2c^2)}+\dfrac{ca(c+a)^2}{(c-a)^2(2c^2-ca+2a^2)}$$

$$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{(a+b)^2(a^2-ab+b^2)}{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)} \geq\sum_{cyc} \dfrac{(a+b)^2}{3(a-b)^2} \geq \sum_{cyc} \dfrac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}$$

เบื่องหลัง

$\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$

$\dfrac{1}{3} \geq \dfrac{ab}{2a^2-ab+2b^2}\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 4. $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}+\frac{(b^3+c^3)(b+c)}{(b^3-c^3)(b-c)}+\frac{(c^3+a^3)(c+a)}{(c^3-a^3)(c-a)} \geq 3+\frac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}+\frac{bc(b+c)^2}{(b-c)^2(2b^2-bc+2c^2)}+\frac{ca(c+a)^2}{(c-a)^2(2c^2-ca+2a^2)}$

จะแสดงว่า$\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}\geqslant 1+\frac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}$
กระจาย$\Leftrightarrow 3a^5b-5a^4b^2+4a^3b^3-5a^2b^4+3ab^5=ab(3(a-b)^4+7ab(a-b)^2)\geqslant 0 $ Obvious,it's true.
ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}\geqslant 3+\sum_{cyc}\frac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}$

[จูกัดเหลียง]

2. โจทย์ผิดป่าวครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 3. กำหนดให้ $x,y,z > 0$ และ $xyz=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}+\frac{y^5+y^2}{(z+x)^2}+\frac{z^5+z^2}{(x+y)^2}\geq \frac{3(x^3y+y^3z+z^3x)}{2(x+y+z)}$$

Sol_n

WLOG $x\ge y\ge z>0$
By Cheby's $$\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}+\frac{y^5+y^2}{(z+x)^2}+\frac{z^5+z^2}{(x+y)^2}=\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2(x^3+1)$$ $$\ge \frac{1}{3}\Big(\Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2+\Big(\frac{y}{z+x}\Big)^2+\Big(\frac{z}{x+y}\Big)^2\Big)(x^3+y^3+z^3+3)$$
$$\ge \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)$$
$\therefore $ จึงต้องการ $$\frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge \frac{3}{2}\Big(\frac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}\Big)$$
$$\leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge 2(x^3y+y^3z+z^3x)$$
but $2(x^3y+y^3z+z^3x)\le \frac{1}{3}(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)$
It's Remain to show that $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge \frac{1}{3}(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)...(*)$
Consider $a^2-a+(-3-2b)\le 0 \because D\ge 0$
Deplace $a=x+y+z,b=xy+yz+zx$ Then $(*)$ is true

เเต่ผมไม่ได้ใช้ $xyz=1$ เลยอ่ะครับ

[Keehlzver]

ทุกคนมีการพัฒนาไปมากครับ ยินดีด้วยครับ

โจทย์ข้อ 2. ไม่ผิดครับ ง่ายสุดเลยด้วยครับ แต่ไม่ยักมีคนทำ

อสมการในรูป $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}) \geq \frac{1}{3}(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}$ และ $b_{1}\geq b_{2} \geq b_{3}$ นะครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebysh...sum_inequality

นั่นหมายความว่า อย่าลืมพิสูจน์ $(\frac{x}{y+z})^2 \geq (\frac{y}{z+x})^2 \geq (\frac{z}{x+y})^2$ นะครับ

และก็อีกอย่างคือ มีที่ผิดตรงวิธีทำตรงข้อ 2
อสมการนี้ $\frac{1}{3}\Big(\Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2+\Big(\frac{y}{z+x}\Big)^2+\Big(\frac{z}{x+y}\Big)^2\Big)(x^3+y^3+z^3+3) \geq \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)$ มันไม่จริง $(a,b,c)=(1,1,1)$ ก็ขัดแย้งแล้วครับ

(ปล.โจทย์ทุกข้อผมแต่งเองครับ)

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ทุกคนมีการพัฒนาไปมากครับ ยินดีด้วยครับ

โจทย์ข้อ 2. ไม่ผิดครับ ง่ายสุดเลยด้วยครับ แต่ไม่ยักมีคนทำ

อสมการในรูป $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}) \geq \frac{1}{3}(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}$ และ $b_{1}\geq b_{2} \geq b_{3}$ นะครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebysh...sum_inequality

นั่นหมายความว่า อย่าลืมพิสูจน์ $(\frac{x}{y+z})^2 \geq (\frac{y}{z+x})^2 \geq (\frac{z}{x+y})^2$ นะครับ

และก็อีกอย่างคือ มีที่ผิดตรงวิธีทำตรงข้อ 2
อสมการนี้ $\frac{1}{3}\Big(\Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2+\Big(\frac{y}{z+x}\Big)^2+\Big(\frac{z}{x+y}\Big)^2\Big)(x^3+y^3+z^3+3) \geq \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)$ มันไม่จริง $(a,b,c)=(1,1,1)$ ก็ขัดแย้งแล้วครับ

(ปล.โจทย์ทุกข้อผมแต่งเองครับ)

คาราวะ 10 จอกเลยครับ

ขอนอกเรื่องนิดนึงนะครับ น้ำที่บ้านเริ่มลดหรือยังครับคุณ Keehlzver

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 2. $x,y,z > 0$ จงพิสูจน์ว่า $(9(x+y+z)+9)(3(xy+yz+zx)+3)\leq (x+y+z+3)^2+8(x+y+z)^3$

เลือก$ x=y=z=1 $ได้ $L.H.S.-R.H.S.=27(4)(4)-(6)^2-8(3)^3=432-36-216\leqslant 0$ ขัดแย้ง
- -*ข้อนี้ผิดรึป่าวครับ

[จูกัดเหลียง]

#39 ขอบคุณครับ งั้นตั้งโจทย์ต่อเลยครับ

[Keehlzver]

ปัดโธ่ ผมพิมพ์ให้ผิดครับ ตรง $(x+y+z+3)^2$ จริงๆต้องเป็น $(x+y+z+3)^3$ ขออภัยด้วยนะครับ

ข้อ 3 ใช้ $xyz=1$ Homogenize เป็น $x^5+x^3yz=x^3(x-y)(x-z)+x^4(y+z)$
ครับ หลังจากนั้นก็กำจัดทางฝั่งขวาของอสมการโดยใช้ $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^3y+y^3z+z^3x)$

(ปล.น้ำยังไม่ลดครับ แต่ถ้าน้ำลดเมื่อไรจะหาแฟนใหม่ซักคน )

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 2. $x,y,z > 0$ จงพิสูจน์ว่า $(9(x+y+z)+9)(3(xy+yz+zx)+3)\leq (x+y+z+3)^2+8(x+y+z)^3$

$$(9(x+y+z)+9)(3(xy+yz+zx)+3)\leq(9(x+y+z)+9)((x+y+z)^2+3)=(x+y+z+3)^2+8(x+y+z)^3$$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 3. กำหนดให้ $x,y,z > 0$ และ $xyz=1$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}+\frac{y^5+y^2}{(z+x)^2}+\frac{z^5+z^2}{(x+y)^2}\geq \frac{3(x^3y+y^3z+z^3x)}{2(x+y+z)}$

lemma 1: $(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 3(x^3y+y^3z+z^3x)$

จาก $(a^2+b^2+b^2)\geqslant 3(ab+bc+ca)$
ให้ $a=x^2-xy+yz,b=y^2-yz+xz,c=z^2-zx+xy$ จะได้ตามต้องการ

จาก Hint คุณ Keehlzver ได้
$$\sum_{cyc}\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^5+x^3yz}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^3(x-y)(x-z)+x^4(y+z)}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\sum_{cyc}\frac{x^4}{y+z} $$
โดยอสมการโคชี Engel Form ได้
$$\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\sum_{cyc}\frac{x^4}{y+z} \geqslant\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x+y+z)} \geqslant \frac{3(x^3y+y^3z+z^3x)}{2(x+y+z)} $$
หมายเหตุ$$\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)\geqslant 0 เพราะว่า \frac{x^3}{(y+z)^2}\geqslant \frac{y^3}{(x+z)^2} เป็นจริงถ้าสมมติให้ x\geqslant y\geqslant z$$