ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[คณิตศาสตร์]

อืม พี่ขอโจทย์หน่อยครับอยากทำอีกครับ ขอนิยามอสมการเพิ่มเติมด้วยครับ

[nooonuii]

งั้นเพิ่มความยากขึ้นอีกนิด แต่มีกฎคือ ใช้แค่อสมการโคชีเท่านั้น

$a,b,c>0$ นะครับเพื่อความสะดวก

5. $\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{\dfrac{b}{3}}+\sqrt{\dfrac{c}{6}}\leq\sqrt{a+b+c}$

6. $(a+b+c)^2\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)(ab+bc+ca)$

7. $9\leq (a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)$

8. $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq\sqrt{6(a+b+c)}$

[คณิตศาสตร์]

ข้อ 7.มานเป็นไปตามพีชคณิตอะครับ

ข้อ 6. ทำไงอะครับ

[[SIL]]

ถ้าผมซื้อปรนัยผิดเล่มก็แย่สิครับ เพราะผมอยากศึกษาแนวพีชคณิตให้ไปวิเคราะห์คงไม่ไหวแน่ๆเลยครับ (ผมเข้าใจถูกหรือไม่ครับ )
ปล. ข้อ 7 ลอง AM-HM ครับ ^^

[คณิตศาสตร์]

คือให้ใช้อสมการโคชีเท่านั้นนะครับ

ข้อ 6. ใบ้ทีครับพี่ nooonuii

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

คือให้ใช้อสมการโคชีเท่านั้นนะครับ

ข้อ 6. ใบ้ทีครับพี่ nooonuii

ผมใช้ความจริงจากพีชคณิตโดยใช้ $a,b,c>0$ แล้วก็อสมการโคชีอะครับ

[warutT]

6.Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$a+b+c=\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{bc}+\sqrt{\frac{c}{a}}\sqrt{ca} \leq \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}\sqrt{ab+bc+ca}$
$\therefore (a+b+c)^2 \leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(ab+bc+ca)$
จบการพิสูจน์

[warutT]

ข้อ 5 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{\frac{b}{3}}+\sqrt{\frac{c}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+\sqrt{\frac{1}{6 }}\sqrt{c}$
$ \leq \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+(\sqrt{c})^2}=\sqrt{a+b+c}$
จบการพิสูจน์

[warutT]

ข้อ 8 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{1+1+1}\sqrt{a+b+b+c+c+a} \leq \sqrt{6(a+b+c)}$
จบการพิสูจน์

[warutT]

ข้อ 7 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$3=1+1+1=\sqrt{\frac{1}{a}}\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}{b}}\sqrt{b}+\sqrt{\frac{1}{c}}\sqrt{c} \leq \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$
$\therefore 9\leq (a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)$
จบการพิสูจน์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 7 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$3=1+1+1=\frac{1}{a}a+\frac{1}{b}b+\frac{1}{c}c \leq \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$
$\therefore 9\leq (a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)$
จบการพิสูจน์

ลืมอะไรไปรึเปล่าครับ

[Mathephobia]

I want some inequality problem that very hard to solve it!!! Please !!!

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

คือให้ใช้อสมการโคชีเท่านั้นนะครับ

ข้อ 6. ใบ้ทีครับพี่ nooonuii

ทำแบบเดียวกับน้อง WarutT ครับ

อันนี้ต้องจัดรูปก่อน แล้วค่อยใช้อสมการโคชี

ลองดูชุดต่อไปครับ ชุดนี้ให้จัดรูปอสมการก่อน

แล้วค่อยใช้อสมการโคชี หรือไม่ก็ใช้อสมการโคชีมากกว่า 1 ครั้ง

9. $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$

10. $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$

11. $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\geq a+b+c$

12. $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2)$

13. $a^2+b^2+c^2\leq (a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ถ้าผมซื้อปรนัยผิดเล่มก็แย่สิครับ เพราะผมอยากศึกษาแนวพีชคณิตให้ไปวิเคราะห์คงไม่ไหวแน่ๆเลยครับ (ผมเข้าใจถูกหรือไม่ครับ )
ปล. ข้อ 7 ลอง AM-HM ครับ ^^

ส่วนของ analytic ผมว่าเป็นส่วนขยายของ algebraic ครับ

อสมการจะมีฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิตมาเกี่ยวข้องด้วย

ยกตัวอย่างเช่น ตรีโกณ log exponential

แต่เครื่องมือที่ใช้อาจจะยากขึ้นไปอีกเป็นวิชาแคลคูลัส

ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกหรือไม่ รอคนที่เคยอ่านแล้วมายืนยันอีกทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathephobia

I want some inequality problem that very hard to solve it!!! Please !!!

ไม่รู้ว่ายากหรือเปล่านะครับ

จงพิสูจน์อสมการ AM-GM 3 ตัวแปร โดยใช้อสมการโคชี

$\sqrt[3]{abc}\leq \dfrac{a+b+c}{3}$