ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[Mathephobia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่รู้ว่ายากหรือเปล่านะครับ
จงพิสูจน์อสมการ AM-GM 3 ตัวแปร โดยใช้อสมการโคชี
$\sqrt[3]{abc}\leq \dfrac{a+b+c}{3}$

See here:
http://www.artofproblemsolving.com/W...roofs_of_AM-GM
I think it's very nice to do with $n$ variables !

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathephobia

See here:
http://www.artofproblemsolving.com/W...roofs_of_AM-GM
I think it's very nice to do with $n$ variables !

อันนี้ไม่ใช้อสมการโคชีนี่ครับ แต่ใช้ induction กับ rearrangement inequality

แต่วิธีพิสูจน์ที่ผมมีก็ไม่ได้ใช้อสมการโคชีโดยตรง

งั้นเอาอันนี้ไปละกันครับ

ให้ $a,b,c>0$ โดยที่ $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า

$\dfrac{a}{1+b+bc}+\dfrac{b}{1+c+ca}+\dfrac{c}{1+a+ab}\geq 1$

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลืมอะไรไปรึเปล่าครับ

ขอโทษครับ
แก้ไขแล้วครับผมลืมใส่ $\sqrt{}$

[คณิตศาสตร์]

เดี๋ยวผมจะมาทำนะครับ ผมว่าจัดรูปนั้นมานต้องใช้ประสบการณ์อะครับถึงดูออกได้ว่าจัดรูปยังไง

[[SIL]]

ข้อนี้ผมลองนั่งเถือกดูไม่ทราบว่าออกมาสวยหรือไม่ครับ
ให้$a,b,c \in R^+$จงพิสูจน์ว่า$(a+b+c)^3+(a+b+c)^2+(a+b+c)\geqslant(7a-1)c+(7b-1)a+(7c-1)b$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ข้อนี้ผมลองนั่งเถือกดูไม่ทราบว่าออกมาสวยหรือไม่ครับ
ให้$a,b,c \in R^+$จงพิสูจน์ว่า$(a+b+c)^3+(a+b+c)^2+(a+b+c)\leq(7a-1)c+(7b-1)a+(7c-1)b$

ถ้า $a=b=c=1$ มันจะจริงหรือครับ

[[SIL]]

ประทานโทษครับอสมการกลับข้าง

[คณิตศาสตร์]

พี่ทำไงอะงงมากทำไม่ออกเลย

[owlpenguin]

ฝั่งซ้ายมันแข็งแรง (strong?) กว่าฝั่งขวาน่ะครับ
เพื่อความสะดวกในการพิมพ์ ให้ $x=a+b+c$ สังเกตว่า $x^2\geq 3(ab+bc+ca)$
จัดรูปใหม่ได้เป็น $x^3+x^2+2x\geq (2\sqrt{2}+1)x^2\geq (6\sqrt{2}+3)(ab+bc+ca)>7(ab+bc+ca)$ โดย AM-GM
อสมการไม่เป็นสมการครับ แต่ถ้าเปลี่ยน $7$ เป็น $6\sqrt{2}+3$ จะได้ว่าเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{3}$

[คณิตศาสตร์]

จัดรูปแล้วมานยังไม่ออกอะครับ ทำตัวอย่างให้ดูหน่อย

[[SIL]]

ผมยังเอ๊าะๆอยู่เลยครับ ดูไม่เป็นหรอก คือทีแรกให้ $a,b,c \in R_0$ น่ะครับแต่บังเอิญ ในกระดาษที่ทำมามามันมี $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ เลยให้เป็น $R^+$ แทนนครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

จัดรูปแล้วมานยังไม่ออกอะครับ ทำตัวอย่างให้ดูหน่อย

ผมว่าผมใช้คำพูดผิดไปแน่เลย ขอเปลี่ยนจากคำว่าจัดรูป เป็น กระจาย ครับ

กระจายแต่ละเทอมก่อนแล้วค่อยใช้อสมการโคชีครับ

[คณิตศาสตร์]

กระจายแล้วโคชีติดรากครับใบ้ให้หน่อยก็ดีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

กระจายแล้วโคชีติดรากครับใบ้ให้หน่อยก็ดีครับ

ลองใช้เอกลักษณ์นี้กระจายเทอมที่เป็นกำลังสองออกมาครับ แล้วลองจัดรูปอสมการใหม่

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

9. $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$

9.$3(ab+bc+ca)\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq 0$ ต่อไปจะพิสูจน์ว่า$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq 0$เป็นจริง
โดยอสมการโคชี $$\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq ab+bc+ac$$