โจทย์สนุกๆ

[seemmeriast]

1. (ง่าย) ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}$$

2. (กลาง) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(x-y)^2} + \frac{y^2}{(y-z)^2} + \frac{z^2}{(z-x)^2}$$

3. (ยาก) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(2552x-2009y-543z)^2} + \frac{y^2}{(2552y-2009z-543x)^2} + \frac{z^2}{(2552z-2009x-543y)^2}$$

[owlpenguin]

1.

วิธีทำ

แทนค่า $a=d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, b=c=1$ ได้ว่า $\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}=\sqrt{5}-1$

ต่อไปจะแสดงว่า $\sqrt{5}-1$ เป็นค่าต่ำสุดของ $\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}$

จาก $(a-\frac{\sqrt{5}-1}{2}b)^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}(b-c)^2+(\frac{\sqrt{5}-1}{2}c-d)^2\geq 0$
$\therefore a^2+b^2+c^2+d^2\geq(\sqrt{5}-1)(ab+bc+cd)$
นั่นคือ $\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}\geq\sqrt{5}-1$ ตามต้องการ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

2. (กลาง) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(x-y)^2} + \frac{y^2}{(y-z)^2} + \frac{z^2}{(z-x)^2}$$

ยากจังเลยครับ ข้อนี้ผมพิสูจน์ได้แค่

$$\frac{x^2}{(x-y)^2} + \frac{y^2}{(y-z)^2} + \frac{z^2}{(z-x)^2}>1$$

เองครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ยากจังเลยครับ ข้อนี้ผมพิสูจน์ได้แค่

$$\frac{x^2}{(x-y)^2} + \frac{y^2}{(y-z)^2} + \frac{z^2}{(z-x)^2}>1$$

เองครับ

ข้อ 2 กับ ข้อ 3 จขกทพิมพ์โจทย์ผิดครับมันต้องเป็น $x,y,z\in R$ ...ผมว่าพอโจทย์ถูก พี่ noounuii ก็คงได้คำตอบแล้วหล่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ข้อ 2 กับ ข้อ 3 จขกทพิมพ์โจทย์ผิดครับมันต้องเป็น $x,y,z\in R$ ...ผมว่าพอโจทย์ถูก พี่ noounuii ก็คงได้คำตอบแล้วหล่ะครับ

เข้าใจแล้วครับ โจทย์สวยมากๆ ขออนุญาตจดใส่ death note นะครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

1. (ง่าย) ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}$$

ตอบ ค่าต่ำสุดคือ $-1+\sqrt{5} $ มีคำตอบที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด คือ $ a = \frac{(-1+\sqrt{5})b }{2} , c = b , d = \frac{(-1+\sqrt{5})b }{2} เมื่อ b\in {\mathbb{R}}^{+} $

หมายเหตุ แต่ถ้าขยายขอบเขตของ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ตอบ ค่าต่ำสุดคือ $-1-\sqrt{5}$ มีคำตอบที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด คือ $ a = \frac{(-1-\sqrt{5})b }{2} , c = b , d = \frac{(-1-\sqrt{5})b }{2} เมื่อ b\in \mathbb{R}-\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

2. (กลาง) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(x-y)^2} + \frac{y^2}{(y-z)^2} + \frac{z^2}{(z-x)^2}$$

ตอบ ค่าต่ำสุดคือ 1 มีคำตอบที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด คือ
$ y = \frac{-x}{2} , z = -2x เมื่อ x\in {\mathbb{R}}^{+} $ หรือ
$ x = -2y , z = \frac{-y}{2} เมื่อ y\in {\mathbb{R}}^{+} $ หรือ
$ x = \frac{-z}{2} , y = -2z เมื่อ z\in {\mathbb{R}}^{+} $ หรือ
$x = \frac{-z(-3y+z)-\sqrt{-4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2}} }{2y},z = y โดยที่ -4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2} \geqslant 0 เมื่อ y \in {\mathbb{R}}^{+}$ หรือ
$x = \frac{-z(-3y+z)+\sqrt{-4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2}} }{2y},z = y โดยที่ -4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2} \geqslant 0 เมื่อ y \in {\mathbb{R}}^{+}$

หมายเหตุ แต่ถ้าขยายขอบเขตของ x,y,z เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ตอบ ค่าต่ำสุดคือ 1 มีคำตอบที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด คือ
$ y = \frac{-x}{2} , z = -2x เมื่อ x\in \mathbb{R}- \left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $ หรือ
$ x = -2y , z = \frac{-y}{2} เมื่อ y\in \mathbb{R}- \left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $ หรือ
$ x = \frac{-z}{2} , y = -2z เมื่อ z\in \mathbb{R}-\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $ หรือ
$x = \frac{-z(-3y+z)-\sqrt{-4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2}} }{2y},z = y โดยที่ -4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2} \geqslant 0 เมื่อ y \in \mathbb{R}-\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $ หรือ
$x = \frac{-z(-3y+z)+\sqrt{-4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2}} }{2y},z = y โดยที่ -4{y}^{3}z+{z}^{2}{(-3y+z)}^{2} \geqslant 0 เมื่อ y \in \mathbb{R}-\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

3. (ยาก) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(2552x-2009y-543z)^2} + \frac{y^2}{(2552y-2009z-543x)^2} + \frac{z^2}{(2552z-2009x-543y)^2}$$

หมายเหตุ แต่ถ้าขยายขอบเขตของ x,y,z เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ตอบ ค่าต่ำสุดคือ $1.43426x{10}^{-7}$ มีคำตอบที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด คือ
$x=0.3406420868183086...,y=-0.5453340826953601...,z=0.03968728574661695...$

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เข้าใจแล้วครับ โจทย์สวยมากๆ ขออนุญาตจดใส่ death note นะครับ

คุณ nooonuii หรือคุณ RoSe-JoKer ลองช่วยใบ้ให้ทีสิครับ
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

คุณ nooonuii หรือคุณ RoSe-JoKer ลองช่วยใบ้ให้ทีสิครับ
ขอบคุณครับ

ให้ $a=\dfrac{x}{x-y},b=\dfrac{y}{y-z},c=\dfrac{z}{z-x}$

พิสูจน์ว่า $a+b+c=ab+bc+ca+1$

ผมว่ารู้ความสัมพันธ์นี้ก็เหมือนเฉลยแล้วล่ะ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a=\dfrac{x}{x-y},b=\dfrac{y}{y-z},c=\dfrac{z}{z-x}$

พิสูจน์ว่า $a+b+c=ab+bc+ca+1$

ผมว่ารู้ความสัมพันธ์นี้ก็เหมือนเฉลยแล้วล่ะ

ขอบคุณมากครับ คือเห็นก็พอเดาได้แล้วว่าทำยังไงต่ออย่างที่คุณ nooonuii พูดน่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

3. (ยาก) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(2552x-2009y-543z)^2} + \frac{y^2}{(2552y-2009z-543x)^2} + \frac{z^2}{(2552z-2009x-543y)^2}$$

ไม่รู้ว่าผมคำนวณผิดตรงไหนรึเปล่านะครับ แต่เท่าที่ได้เช็คกับข้อสองได้คำตอบตรงกัน และเช็คกับ numerical solution สำหรับข้อสามของคุณชายแล้วได้คำตอบใกล้เคียงกัน

ให้ $p,q\in\mathbb{R}$ โดยที่ $p^2+q^2\neq 0$ จะได้ว่า
$$\frac{x^2}{((p+q)x-py-qz)^2} + \frac{y^2}{((p+q)y-pz-qx)^2} + \frac{z^2}{((p+q)z-px-qy)^2}\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$$

ขอบคุณ คุณ seemmeriast มากๆครับ สำหรับโจทย์สนุกๆ ทำให้ผมได้เรียนรู้อะไรอีกเยอะเลย

[RoSe-JoKer]

พี่ nooounuii พิสูจน์ยังไงหรอครับผมอยากเห็นมากๆ
รู้สึกว่าถ้าผมจำไม่ผิดมันเป็นอสมการตั้งต้นที่ถูกต้องเลยครับ+ซึ่งถ้าผมจำไม่ผิดวิธีของคุณ seemmeriast พิสูจน์มันจะมีบางกรณีที่ตัวเขาเองก็พิสูจน์ไม่ได้ แต่รู้สึกว่าที่พี่ nooounuii เอามามันจะเป็นอสมการที่เป็นจริงโดยสามารถพิสูจน์กรณีเหล่านั้นได้แล้ว!! อย่างเด็ดเลยอะครับ

[Anonymous314]

เป็น identity ที่สวยมากเลยครับ อยากเห็นเหมือนกันครับ

[nooonuii]

ช่วยเช็คด้วยนะครับว่าผมคำนวณผิดตรงไหนรึเปล่า เพราะข้อนี้คำนวณเลขกันตาลายเลย

ให้ $a=\dfrac{x}{(p+q)x-py-qz}, b=\dfrac{y}{(p+q)y-pz-qx}, c=\dfrac{z}{(p+q)z-px-qy}$

จะได้สมการ matrix

$ \bmatrix{1-(p+q)a & pa & qa \\ qb & 1-(p+q)b & pb \\ pc & qc & 1-(p+q)c} \bmatrix{x \\ y \\ z}= \bmatrix{0 \\ 0 \\ 0}$

เนื่องจาก $(x,y,z)\neq (0,0,0)$ เราจะต้องได้ว่า

$ \vmatrix{1-(p+q)a & pa & qa \\ qb & 1-(p+q)b & pb \\ pc & qc & 1-(p+q)c} =0$

กระจาย determinant ออกมาจะได้

$1+(p^2+pq+q^2)(ab+bc+ca)=(p+q)(a+b+c)$

ดังนั้น

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2+\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$a+b+c=\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}$

ซึ่งแยกพิจารณาเป็นกรณีได้ดังนี้

กรณีที่ 1 $p=0$

$\bullet$ เลือกจุด $(x,\dfrac{x}{4},-\dfrac{x}{2}),x\neq 0$

กรณีที่ 2 $q=0$

$\bullet$ เลือกจุด $(x,-\dfrac{x}{2},\dfrac{x}{4}),x\neq 0$

กรณีที่ 3 $pq\neq 0,p=-q$

$\bullet$ เลือกจุด $(0,y,-y),y\neq 0$

กรณีที่ 4 $pq\neq 0,p\neq -q,p=q$

$\bullet$ เลือกจุด $\Big(x,x,-8x\Big),x\neq 0$

กรณีที่ 5 $pq\neq 0,p\neq -q,p\neq q$

$\bullet$ เลือกจุด $\Big(0,y,-\dfrac{q^2}{p^2}y\Big),y\neq 0$

[Anonymous314]

โห สุดยอดมากเลยครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ช่วยเช็คด้วยนะครับว่าผมคำนวณผิดตรงไหนรึเปล่า
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2+\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2+\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2} $ บรรทัดนี้ดูแปลก ๆ นะครับ $~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$