โจทย์สนุกๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2+\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2} $ บรรทัดนี้ดูแปลก ๆ นะครับ $~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$=(a+b+c)^2-2\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}(a+b+c)+\dfrac{2}{p^2+pq+q^2}$

$=(a+b+c)^2-2\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}(a+b+c)+\dfrac{(p+q)^2}{(p^2+pq+q^2)^2}-\dfrac{(p+q)^2}{(p^2+pq+q^2)^2}+\dfrac{2}{p^2+pq+q^2}$

$=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2 + \dfrac{-(p^2+2pq+q^2)+2(p^2+pq+q^2)}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2 + \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

[seemmeriast]

ขอบคุณท่าน nooonuii มากครับสำหรับบทพิสูจน์

ข้อ 3 เป็นปัญหาที่ผมเคยตั้งเล่นๆ เมื่อนานมาแล้ว ซึ่งปัญหาในรูปทั่วไปคือ

กำหนด $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ $a+b+c=0$
จงหาค่าต่ำสุดของ $$\frac{x^2}{(ax+by+cz)^2} + \frac{y^2}{(ay+bz+cx)^2} + \frac{z^2}{(az+bx+cy)^2}$$

ซึ่งผมเองพิสูจน์ได้แค่กรณีที่ $b \not= c$ แต่กรณีที่ $b=c$ ยังพิสูจน์ไม่ได้ เดี๋ยวจะเอามาลงให้ดูครับ

[seemmeriast]

พิสูจน์
จะพิสูจน์ว่าค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ $\dfrac{b^2+c^2}{(b^2+bc+c^2)^2}$

ให้ $k=\dfrac{c}{b-c}$

ให้ $ S = \sum_{cyc} \dfrac{x^2}{(ax+by+cz)^2} $

จะได้
$ (b-c)^2S = \sum_{cyc} \dfrac{x^2}{\Big(\dfrac{a}{(b-c)^2}x+\dfrac{b}{(b-c)^2}y+\dfrac{c}{(b-c)^2}z\Big)^2} $
$~~~~~~~~~~~~ = \sum_{cyc} \dfrac{x^2}{((2k+1)x-(k+1)y-kz)^2} $



ให้ $ p = \dfrac{(k+1)^2x+k(k+1)y+k^2z}{3k^2+3k+1} $

$ q = \dfrac{(k+1)^2y+k(k+1)z+k^2x}{3k^2+3k+1} $

$ r = \dfrac{(k+1)^2z+k(k+1)x+k^2y}{3k^2+3k+1} $

จะได้ $ x = (k+1)p-kq $
$ y = (k+1)q-kr $
$ z = (k+1)r-kp $

และ $ (2k+1)x-(k+1)y-kz = p-q $
$ (2k+1)y-(k+1)z-kx = q-r $
$ (2k+1)z-(k+1)x-ky = r-p $

ดังนั้น
$ (b-c)^2S = \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \sum_{cyc} \dfrac{((k+1)p-kq)^2}{(p-q)^2} $
$~~~~~~~~~~~~= \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \sum_{cyc} (\dfrac{p}{p-q}+k)^2 $



ให้ $A = \dfrac{p}{p-q}, B = \dfrac{q}{q-r}, C = \dfrac{r}{r-p}$

จะได้ $ABC = \dfrac{pqr}{(p-q)(q-r)(q-p)} = (A-1)(B-1)(C-1)$
ดังนั้น $A+B+C = AB+BC+CA+1$



ดังนั้น
$ (b-c)^2S = \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \sum_{cyc} (A+k)^2$

$~~~~~~~~~~~~ = \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \Big(\sum_{cyc} A^2 + 2k\sum_{cyc} A + 3k^2) $

$~~~~~~~~~~~~ = \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \Big(\sum_{cyc} A^2 + (2k-2)\sum_{cyc} A + 2(\sum_{cyc} AB + 1) + 3k^2\Big) $

$~~~~~~~~~~~~ = \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \Big((A+B+C+(k-1))^2 + (2k^2+2k+1)\Big) $

$~~~~~~~~~~~~ \geq \dfrac{1}{3k^2+3k+1} \Big(0 + (2k^2+2k+1)\Big) $

$~~~~~~~~~~~~ = \dfrac{2k^2+2k+1}{(3k^2+3k+1)^2} $


ดังนั้น
$ S \geq \dfrac{2k^2+2k+1}{(3k^2+3k+1)^2(b-c)^2} $

$~~ = \dfrac{b^2+c^2}{(b^2+bc+c^2)^2} $


เลือก $x,y,z$ ที่ทำให้เกิดสมการ
$\bullet$ ถ้า $b = 0$ เลือก $(1,-1,2+\sqrt5)$
$\bullet$ ถ้า $c = 0$ เลือก $(-1,1,2+\sqrt5)$
$\bullet$ ถ้า $b \not= 0$ และ $c \not= 0$ เลือก $\Big(0,\dfrac{b^2}{(b-c)^2},-\dfrac{c^2}{(b-c)^2}\Big)$

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ช่วยเช็คด้วยนะครับว่าผมคำนวณผิดตรงไหนรึเปล่า เพราะข้อนี้คำนวณเลขกันตาลายเลย

ให้ $a=\dfrac{x}{(p+q)x-py-qz}, b=\dfrac{y}{(p+q)y-pz-qx}, c=\dfrac{z}{(p+q)z-px-qy}$

จะได้สมการ matrix

$ \bmatrix{1-(p+q)a & pa & qa \\ qb & 1-(p+q)b & pb \\ pc & qc & 1-(p+q)c} \bmatrix{x \\ y \\ z}= \bmatrix{0 \\ 0 \\ 0}$

เนื่องจาก $(x,y,z)\neq (0,0,0)$ เราจะต้องได้ว่า

$ \vmatrix{1-(p+q)a & pa & qa \\ qb & 1-(p+q)b & pb \\ pc & qc & 1-(p+q)c} =0$

กระจาย determinant ออกมาจะได้

$1+(p^2+pq+q^2)(ab+bc+ca)=(p+q)(a+b+c)$

ดังนั้น

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b+c)^2-2\Big(\dfrac{(p+q)(a+b+c)-1}{p^2+pq+q^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(a+b+c-\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}\Big)^2+\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{p^2+q^2}{(p^2+pq+q^2)^2}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$a+b+c=\dfrac{p+q}{p^2+pq+q^2}$

ซึ่งแยกพิจารณาเป็นกรณีได้ดังนี้

กรณีที่ 1 $p=0$

$\bullet$ เลือกจุด $(x,\dfrac{x}{4},-\dfrac{x}{2}),x\neq 0$

กรณีที่ 2 $q=0$

$\bullet$ เลือกจุด $(x,-\dfrac{x}{2},\dfrac{x}{4}),x\neq 0$

กรณีที่ 3 $pq\neq 0,p=-q$

$\bullet$ เลือกจุด $(0,y,-y),y\neq 0$

กรณีที่ 4 $pq\neq 0,p\neq -q,p=q$

$\bullet$ เลือกจุด $\Big(x,x,-8x\Big),x\neq 0$

กรณีที่ 5 $pq\neq 0,p\neq -q,p\neq q$

$\bullet$ เลือกจุด $\Big(0,y,-\dfrac{q^2}{p^2}y\Big),y\neq 0$

มีวิธีอื่นนอกจากmatrixรึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$1+(p^2+pq+q^2)(ab+bc+ca)=(p+q)(a+b+c)$

ไม่จำเป็นต้องใช้ก็ได้ครับ ถ้าพิสูจน์ตัวนี้ได้ก็จบ

ตอนนี้มีแต่วิธีกระจายครับ ซึ่งคงไม่มีใครอยากทำเท่าไหร่