มอ วิชาการ บางข้อ ช่วยหน่อยครับ

[Tsunami]

-----ให้ $f$ เป็นฟังชั่นทั่วถึง และ $f(x+f(y))=4x+y+2555$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ จงหาค่าของ $f(0)$

-----กำหนด $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ โดยที่ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $P(1)=27,P(2)=54,P(3)=81$ แล้วจงหาค่าของ $\frac{P(0)+P(4)}{4}$

-----ให้ ห.ร.ม. ของ $x$ และ $y$ เป็น $10!$ และ ค.ร.น. ของ $x,y$ เป็น$100!$ จงหาจำนวนวิธีการสร้าง $(x,y)$ โดยสอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้น โดยที่ $x\leqslant y$

ขอบคุณครับ

เพิ่มเติม
-----จงหาจำนวนรากของสมการ $sin(3x)+cos(3x)=0.25$ เมื่อ $0\leqslant x\leqslant 9\pi $
-----ให้ $A=\bmatrix{1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2} $ จงหาเงื่อนไขของ $a,b,c$ ที่ทำให้ $A$ มีตัวผกผันการคูณ

[sahaete]

ฟังก์ชัน แทน y=0 และ แทน x=-f(0)

[sahaete]

ตามนี้เลยครับ...ข้อที่เหลือลองไล่ดูครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

Attachment 10085
จาก $\quad A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\cdot adj(A)$
ดังนั้น
$\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a&{{a^2}}\\
1&b&{{b^2}}\\
1&c&{{c^2}}
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}\quad \begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b\\
c
\end{array}\\
\left| A \right| = \left( {b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c} \right) - \left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right)\\
\quad = b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c - {a^2}b - {b^2}c - a{c^2}\\
\quad = abc - {b^2}c - {a^2}b + a{b^2} - a{c^2} + b{c^2} + {a^2}c - abc\\
\quad = bc\left( {a - b} \right) - ab\left( {a - b} \right) - {c^2}\left( {a - b} \right) + ac\left( {a - b} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {bc - ab - {c^2} + ac} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left[ {b\left( {c - a} \right) - c\left( {c - a} \right)} \right]\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)
\end{array}$
เงื่อนไขที่ทำให้ A มีตัวผกผันการคูณ คือ
$det(A)\not= 0$
หรือ $a\not= b\not= c$

[polsk133]

ข้อ 3. ไม่ค่อยแน่ใจ ลองดูละกัน

จาก $(x,y)=10!$

ดังนั้น $x=a10!$ , $y=b10!$ โดยที่ $(a,b)=1$

ดังนั้น $[x,y]=ab10!=100!$

$ab=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}...97^{a_25}$

จาก (a,b)= 1 ดังนั้น
ถ้า pเป็นจำนวนเฉพาะที่หาร a ลงตัวแล้ว p หาร b ไม่ลงตัว

เลือกได้ $25C0+25C1+25C2+...+25C25=2^{25}$

แต่ $a < b $ดังนั้น เลือกได้$ 2^24$

[Euler-Fermat]

2. $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
$P(1)=27,P(2)=54,P(3)=81$
ให้ $1,2,3,k $เป็นรากของ $P(x)-27x$
จะได้ $P(x)-3x = (x-1)(x-2)(x-3)(x-k)$
$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+27x$
$P(0) = 6k , P(4) = 6(4-k)+108 = 132-6k$
$\therefore \frac{P(0)+P(4)}{4} = \frac{132}{4} = 33$

[Euler-Fermat]

3.$\sin(3x)+\cos(3x) = 0.25$
$1-2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{16}$
$\sin(6x) = \frac{15}{16} $
$0\leqslant x\leqslant 9\pi $
$0\leqslant 6x \leqslant 54\pi $
$\therefore $มี $54$ คำตอบ

[polsk133]

#5 ต้อง +27k ไม่ใช่ 3k ครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

#5 ต้อง +27k ไม่ใช่ 3k ครับ

แก้แล้วครับ ขอบคุณครับ

[sahaete]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

3.$\sin(3x)+\cos(3x) = 0.25$
$1-2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{16}$
$\sin(6x) = \frac{15}{16} $
$0\leqslant x\leqslant 9\pi $
$0\leqslant 6x \leqslant 54\pi $
$\therefore $มี $54$ คำตอบ

3.$\sin(3x)+\cos(3x) = 0.25$
$1-2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{16}$
$\sin(6x) = \frac{15}{16} $
$0\leqslant x\leqslant 9\pi $
$0\leqslant 6x \leqslant 54\pi $
$\therefore $มี $54$ คำตอบ

โจทย์เครื่องหมาย $\quad +\quad $ หรือป่าวครับ...

[Keehlzver]

ทำไมถึงสรุปได้ว่ามี 54 คำตอบครับ???

[Tsunami]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

3.$\sin(3x)+\cos(3x) = 0.25$
$1-2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{16}$
$\sin(6x) = \frac{15}{16} $
$0\leqslant x\leqslant 9\pi $
$0\leqslant 6x \leqslant 54\pi $
$\therefore $มี $54$ คำตอบ

โจทย์เครื่องหมาย $\quad +\quad $ หรือป่าวครับ...

มีครับ ..........

[sahaete]

แล้วพอยกกำลังสอง พจน์ซ้ายทำไมได้ลบครับ

[Keehlzver]

ใช่ครับ พจน์ซ้ายทำไมได้ลบครับ
อีกอย่างคำตอบไม่ใช่ 54 ด้วยแต่เป็น 27
เพราะกราฟของ $sin(3x)+cos(3x)$ กับ $sin(6x)$ มุมเป็น 2 เท่ากัน คำตอบที่ได้ 54 เลยต้องเอามาหารสองด้วย
รบกวนช่วยชี้แนะให้กระจ่างหน่อยครับว่าทำไมถึงสรุปคำตอบเป็น 54 ได้ครับ??

[ด้วยใจปราถนา]

ถ้าคำตอบเท่ากับ 27 ผมว่ามันน่าจะหาร 2 ได้นะครับ แต่น่าจะดูที่ค่า sin ที่ติดลบ มุม x ก็จะเกิดใน 2 จตุภาค ไม่มั่นใจเท่าไหร่นะครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

3.$\sin(3x)+\cos(3x) = 0.25$
$1-2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{16}$
$\sin(6x) = \frac{15}{16} $
$0\leqslant x\leqslant 9\pi $
$0\leqslant 6x \leqslant 54\pi $
$\therefore $มี $54$ คำตอบ

โจทย์เครื่องหมาย $\quad +\quad $ หรือป่าวครับ...

ผมคงเมา มากมาย ครับ 54 คำตอบ ถ้าผิดก็ขออภัยด้วยครับ