ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยครับ(recurrence)

[Form]

สำหรับ $k>7$ แล้ว $u_k=u_{k-2}+u_{k-5}-u_{k-7} $
กำหนด $ u_0=u_2=u_4=u_5=u_6=u_7=1 $ และ $ u_1=u_3=0 $
จงหา $ u_{100} $


ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Form

สำหรับ $n>7$ แล้ว $a_n=a_{n-2}+a_{n-5}-a_{n-7} $
กำหนด $ a_0=a_2=a_4=a_5=a_6=a_7=1 $ และ $ a_1=a_3=0 $
จงหา $ a_{100} $


ขอบคุณล่วงหน้าครับ

solution

$a_n - a_{n-2} = a_{n-5}-a_{n-7}$

ดังนั้น
$a_{100}-a_{98} = a_{95} - a_{93} = ... a_{10}-a_{8} = a_5-a_3 = 1-0=1$
$a_{98}-a_{96} = ... = a_8-a_6 = a_3 - a_1 = 0-0 = 0$
$a_{96}-a_{94} = ... = a_6 - a_4 = 1-1=0$
$a_{94}-a_{92} = ... = a_4-a_2 = 1-1= 0$
$a_{92}-a_{90} = ... = a_2 - a_0 = 1-1 = 0$

ทำนองเดียวกัน
$a_{90}-a_{88} = ... = a_5 - a_3 = 1$
$a_{88}-a_{86} = ... = a_3 - a_1 =0$
$a_{86}-a_{84} = ... = a_6 - a_4 =0$
$a_{84}-a_{82} = ... = a_4-a_2 =0$
$a_{82}-a_{80} = ... = a_2 - a_0 =0$

เช่นนี้เรื่อยไป...
$a_{20}-a_{18} = ... = a_5 - a_3 = 1$
$a_{18}-a_{16} = ... = a_3 - a_1 =0$
$a_{16}-a_{14} = ... = a_6 - a_4 =0$
$a_{14}-a_{12} = ... = a_4-a_2 =0$
$a_{12}-a_{10} = ... = a_2 - a_0 =0$

และ
$a_{10}-a_{8} = ... = a_5 - a_3 = 1$
$a_{8}-a_{6} = ... = a_3 - a_1 =0$
$a_{6}-a_{4} = ... = a_6 - a_4 =0$
$a_{4}-a_{2} = ... = a_4-a_2 =0$
$a_{2}-a_{0} = ... = a_2 - a_0 =0$

นำสมการทั้งหมดมาบวกกัน จะได้ $a_{100} - a_0 = \underbrace{1+1+1+...+1}_{10 ตัว} \Rightarrow a_{100} = 10 + a_0 = 11 $

[Form]

ขอบคุณทุกท่านมากครับ

[Pitchayut]

จริงๆ ความสัมพันธ์นี้เป็นจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ 2x+5y=n

นั่นหมายความว่าโจทย์จะให้หาจำนวนผลเฉลยที่จำนวนเต็มบวกของ 2x+5y=100

ซึ่งเราก็ไล่แทนค่า

x=0 ---> y=50
x=10 ---> y=45
x=20 ---> y=40
x=30 ---> y=35

เป็นเช่นนี้เรื่อยไปจนถึง

x=100 ---> y=0

ซึ่งก็จะได้ 11 ผลเฉลย

หมายเหตุ: เอามาจากหนังสือ Art Of Problem Solving หน้า 246 หรือเปล่าครับ