โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

15. $a,b,c>0$

$\dfrac{3a^2+2bc}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{3b^2+2ca}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{3c^2+2ab}{c^2+(a+b)^2}\geq 3$

ตอนแรกนั่ง Brute force ก็สวยดีแต่ไม่งาม 55+

MY SOLUTION

WLOG $a \ge b \ge c$
เอา 3 ไปลบ จะได้อสมการสมมูลกับ
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge 0$
เนื่องจาก
$2a^2-(b^2+c^2) \ge 2b^2-(c^2+a^2) \ge 2c^2-(a^2+b^2)$
และ
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ca} \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ab} $
โดย Chebychev inequality จะได้ว่า
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge \frac{2a^2+2b^2+2c^2-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(c^2+a^2)}{3}(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+2bc} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ca} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ab}) = 0$
$\therefore \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} = \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge 0 \ \ \ \square$

[Keehlzver]

ต้องขอโทษคุณ Light ที่เป็นเจ้าของกระทู้ด้วยครับที่ผมเอาโจทย์ที่ไม่ได้แต่งเองมาโพสต์ว่าคือโจทย์ข้อแรก เป็นโจทย์ของ Titu ใจจริงๆผมอยากให้คุณจูกัดเหลียงได้ทราบเอกลักษณ์ตัวนี้ครับ $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$

ส่วนอีกข้อใจจริงๆผมอยากให้ใครที่ยังไม่รู้วิธีใช้ AM-GM แบบเศษส่วนบวกกันแล้วหายไปได้ลองฝึกใช้ครับ ห้องอสมการเล่นกันก็แค่ไม่กี่คน แต่คนที่มาดูนี่เยอะพอสมควรเลย ผมอยากให้รู้เทคนิคพวกนี้เอาไว้ สำหรับคนที่ไม่มีเวลา Search

ขออภัยด้วยครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

13. $a,b,c>0$

$(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)\leq (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$

MY SOLUTION

Brute force !!
$(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)\le (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$
$\leftrightarrow \sum_{cyc}a^6b^3 +\sum_{cyc}a^3b^6\ge \sum_{cyc}a^4bc^3+\sum_{cyc}a^5b^2c^2$
โดย AM-GM จะได้
$\sum_{cyc}a^6b^3 =\sum_{cyc}\frac{2}{3}a^6b^3+\frac{1}{3}c^6a^3 \ge \sum_{cyc} a^5b^2c^2$
และ
$\sum_{cyc}a^3b^6=\sum_{cyc}\frac{1}{3}b^3c^6+\frac{2}{3}c^3a^6 \ge \sum_{cyc}a^4bc^4$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ตอนแรกนั่ง Brute force ก็สวยดีแต่ไม่งาม 55+

MY SOLUTION

WLOG $a \ge b \ge c$
เอา 3 ไปลบ จะได้อสมการสมมูลกับ
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge 0$
โดย Power mean
$2b^2+2c^2 \ge (b+c)^2 \rightarrow \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}$
เนื่องจาก
$2a^2-(b^2+c^2) \ge 2b^2-(c^2+a^2) \ge 2c^2-(a^2+b^2)$
และ
$\frac{1}{a^2+2b^2+2c^2} \ge \frac{1}{2a^2+b^2+2c^2} \ge \frac{1}{2a^2+2b^2+c^2} $
โดย Chebychev inequality จะได้ว่า
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2} \ge \frac{2a^2+2b^2+2c^2-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(c^2+a^2)}{3}(\frac{1}{a^2+2b^2+2c^2} + \frac{1}{2a^2+b^2+2c^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2+c^2}) = 0$
$\therefore \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2} \ge 0 \ \ \ \square$

$ \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}$

มาได้อย่างไร ครับ

[LightLucifer]

จริงด้วย ครับ แหะๆ ลืมไป
แก้แล้วครับ ช่วยเช็คหน่อยนะครับ

[หยินหยาง]

#95
ก็ OK. ครับ
เสนอให้อีกวิธีครับ

$\sum_{cyc} \frac{3a^2+2bc}{a^2+(b+c)^2} \ge 3\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{(a-b)^2(a+b)(2c)}{(a^2+(b+c)^2)(b^2+(c+a)^2)} \ge 0$

[จูกัดเหลียง]

ว่าเเต่ ไวแยร์สตราสส์ ถูกไหมครับ คือไม่รู้ว่ายกกำลังเป็นเศษส่วนได้หรือเปล่าอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ว่าเเต่ ไวแยร์สตราสส์ ถูกไหมครับ คือไม่รู้ว่ายกกำลังเป็นเศษส่วนได้หรือเปล่าอ่ะครับ

ถ้ายกกำลังเป็นเศษส่วนแล้วเราจะนับจำนวนครั้งได้มั้ยครับ ยังไม่ได้ดูละเอียด

[LightLucifer]

Let $a,b,c>0$ such that $a+b+c=3$
Prove that $$\frac{a^4}{a^3+3}+\frac{b^4}{b^3+3}+\frac{c^4}{c^3+3} \ge \frac{3}{4}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

Let $a,b,c>0$ such that $a+b+c=3$
Prove that $$\frac{a^4}{a^3+3}+\frac{b^4}{b^3+3}+\frac{c^4}{c^3+3} \ge \frac{3}{4}$$

$\dfrac{a^4}{a^3+3}\geq\dfrac{13a-9}{16}\Leftrightarrow \dfrac{3(a-1)^2(a^2+5a+9)}{16(a^3+3)}\geq 0$

ดังนั้น

LHS $\geq \dfrac{(13a-9)+(13b-9)+(13c-9)}{16}=\dfrac{3}{4}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

12. $a,b,c>0$

$\sqrt{\dfrac{a}{2a+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+2b+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\leq\dfrac{3}{2}$

Child_soln

ให้ $x=a+b,y=b+c,z=c+a$
จะได้ อสมการสมมูลกับ
$$\sqrt{\frac{x-y+z}{2(x+z)}}+\sqrt{\frac{x+y-z}{2(x+y)}}+\sqrt{\frac{-x+y+z}{2(y+z)}}\leqslant \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x}{2(y+z)}}\leqslant \frac{3}{2}$$
จากอสมการของ โคชี จะได้
$$ \sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x}{2(y+z)}} \leqslant \sqrt{3}\sqrt{\frac{3}{2}-(\sum_{cyc} \frac{x}{2(y+z)})}$$
นั่นคือ เราต้องการ $$\frac{1}{2}(\sum_{cyc} \frac{x}{y+z}) \geqslant \frac{3}{4}$$
ซึ่งเป็นจริงโดย $A.M.-H.M.$

[nooonuii]

16. $a,b,c>0$

$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 3(a-b)(b-c)(c-a)$

17. $a,b,c\geq 0$

$(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3\geq a^3+b^3+c^3$

18. $a,b,c>0$ อสมการต่อไปนี้เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งอสมการ

$a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

19. $a,b,c\in [-1,1]$ โดยที่ $a+b+c=0$ จงหาค่าสูงสุดของ $|a|+|b|+|c|$

20. $a,b,c\geq 0$

$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq\dfrac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

16. $a,b,c>0$

$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 3(a-b)(b-c)(c-a)$

MY SOLUTION

$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 3(a-b)(b-c)(c-a)$
$\leftrightarrow \sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}a^2b \ge 2\sum_{cyc}ab^2$
$\leftrightarrow \sum_{cyc}(b^3+a^2b) \ge 2\sum_{cyc}ab^2$
ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM $b^3+a^2b \ge 2ab^2 \ \ \ \ \square$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

17. $a,b,c\geq 0$

$(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3\geq a^3+b^3+c^3$

MY SOLUTION

ให้ $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
$(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3\geq a^3+b^3+c^3$
$\leftrightarrow \sum_{cyc}(a+b+c-2c)^3 \ge a^3+b^3+c^3$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} (p^3-6p^2c+12pc^2-8c^3) \ge a^3+b^3+c^3$
$\leftrightarrow 3p^3-6p^3+12p(p^2-2q) \ge 9(a^3+b^3+c^3)=9(p^3-3pq+3r)$
$\leftrightarrow 3pq \ge 27r\rightarrow pq \ge 9r$
นั่นคือ
$(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 3\sqrt[3]{abc}\cdot 3\sqrt[3]{(abc)^2}=9abc$
ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

20. $a,b,c\geq 0$

$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq\dfrac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$

MY SOLUTION

$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq\dfrac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\leftrightarrow \sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le \dfrac{9}{4}(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc)$
$\leftrightarrow 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le 9(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc)$
AM-GM
$8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le \sum_{cyc}4(ab)(a+b+2c)= 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+24abc \le 5\sum_{cyc}a^2b+5\sum_{cyc}ab^2+18abc$
$\therefore 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le 9\sum_{cyc}a^2b+9\sum_{cyc}ab^2+18abc=9(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc) \ \ \ \square$

ลองข้อนี้ดูนะครับ

Let $a,b,c>0$
Prove that
$$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

[Keehlzver]

ขอลองข้อข้างบนคุณว่าที่เหรียญทอง

สมมติ $c=max(a,b,c)$ อสมการสมมูลกับ $(2(a+b)^2+6)(a-b)^2+(2(a+c)(b+c)+6a+6-6b)(a-c)(b-c) \geq 0$ ซึ่ง Obvious

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ลองข้อนี้ดูนะครับ

Let $a,b,c>0$
Prove that
$$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

มั่วนิดๆครับอย่าถือสา 555+

my_soln

ให้ $x=a+b,y=b+c,z=c+a$ เเละ $WLOG$ ว่า $z\leqslant y\leqslant x$
จะได้ $$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x^2y^2+3\sum_{cyc} xy^2 \geqslant 3\sum_{cyc} x^2y+\sum_{cyc} x^2yz$$
ดังนั้น เราจึงต้องการ $$\sum_{cyc} xy^2\geqslant \sum_{cyc} x^2y ...(*)$$
เเละ $$\sum_{cyc} x^2y^2 \geqslant \sum_{cyc} x^2yz ...(**)$$
$$...(*)\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})\geqslant 0$$
$$...(**) \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z) \ge \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z)(z-x) \ge 0$$
โดยอสมการ 2 พจน์สุดท้ายเป็นจริงจาก เเละ $Schur's$

อ่าว มีคนเขียน SOLN เเล้วเหรอเนี่ย (บรรทัดเดียวอีก)
ว่าเเต่คุณ #104 ทำไมเขียนออกมาในรูปแบบนั้นเก่งจังครับ ทำอย่างไร