~Nice problem~

[murderer@IPST]

Let $a, b, c$ be non-negative numbers, no two of which are zero. Then,
$$\sqrt{\frac {a}{4a+5b}}+\sqrt{\frac {b}{4b+5c}}+\sqrt{\frac {c}{4c+5a}}\leq 1$$

ผมยังทำไม่ได้ครับ แต่ดูสวยดี

[dektep]

hint

ให้ $x=\sqrt{\frac{a}{4a+5b}},y=\sqrt{\frac{b}{4b+5c}},z=\sqrt{\frac{c}{4c+5a}}$
จะได้ว่า $(1-4x^{2})(1-4y^{2})(1-4z^{2})=125x^{2}y^{2}z^{2}$
สมมติว่า $x+y+z > 1$ แล้วพิสูจน์ขัดแย้ง

[murderer@IPST]

แล้วทำไงต่ออ่ะ

[Ipod]

คุณ murderer@IPST ลองคิดเองก่อนสิครับ 555+

[murderer@IPST]

คือผมทำได้แล้วไงครับแต่อยากรู้ว่าคุณ dektep จะมีsolnที่ดีกว่าผมรึเปล่าไงล่ะครับ เหอะๆ

[Uranus Hunter]

แล้ว soln ของคุณ murderer@IPST เป็นยังไงครับ ดีกว่ารึเปล่า
ผมทำไม่ออกน่ะครับ แสดงให้ดูหน่อย

[dektep]

hint2

$(1-4x^2)(1-4y^2)(1-4z^2)=(1-2x)(1+2x)(1-2y)(1+2y)(1+2z)(1-2z)$
$< (x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)(3x+y+z)(x+3y+z)(x+y+3z)$ เพื่อจะให้เกิด Contradiction จะต้องพิสูจน์ว่า $(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)(3x+y+z)(x+3y+z)(x+y+3z) \leq 125x^2y^2z^2$
ซึ่งตรงนี้ผมยังหาวิธีที่ดีกว่ากระจายยังไม่ได้ครับ

[murderer@IPST]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Uranus Hunter

แล้ว soln ของคุณ murderer@IPST เป็นยังไงครับ ดีกว่ารึเปล่า
ผมทำไม่ออกน่ะครับ แสดงให้ดูหน่อย

ผมก็ทำคล้ายๆแบบนี้แหล่ะครับ